Question

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P，其質(zhì)量m=2×10^-2 kg，電荷量q=0.2 C。將彈簧拉至水平后，以初速度v₀=20 m/s豎直向下射出小球P，小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O₁點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小v=15 m/s。若O、O₁相距R=1.5 m，小球P在O₁點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運(yùn)動(dòng)。小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s²。那么，

（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？

（2）請(qǐng)通過計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度。

（3）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請(qǐng)推導(dǎo)出r的表達(dá)式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角）。

Answer 1

分析：帶電物體在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，功能關(guān)系，圓周運(yùn)動(dòng)。

解：（1）設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：

①

代入數(shù)據(jù)，得：W=-2.05 J。②

說明：①②式各2分。

（2）由題給條件知，N碰后做平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場(chǎng)力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有：mv=±m(xù)v₁+MV③

而：④

若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得V＜v₁，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)。P、N碰后瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)。有：⑤

P、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過的時(shí)間為t_n，P經(jīng)過的時(shí)間為t下標(biāo)P。設(shè)此時(shí)N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為θ，有：⑥

gt_n=V₁sinθ=v₁sinθ⑦

代入數(shù)據(jù)，得：⑧

對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有：⑨

經(jīng)計(jì)算得：t_N＜T

P經(jīng)過t_P時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為α，有：⑩

當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有：α₁=π+θ

聯(lián)立相關(guān)方程得

比較得，t_N≠t_P1，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同。

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有：α₂=π-θ

同上得：

比較得，t_n≠t_P2，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同。

說明：③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各1分。

（3）當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，t_N=t_P=t，

再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：

考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有：（n=0，1，2，…）

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，t_N=t_P=t，

同理得：

考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有：（n=0，1，2，…）。

（給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）

說明：式各1分。