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6.如圖,平行長直金屬導軌水平放置,導軌間距為l,一端接有阻值為R的電阻;整個導軌處于豎直向下的勻強磁場中,磁感應強度大小為B;一根質量為m的金屬桿置于導軌上,與導軌垂直并接觸良好.已知金屬桿在導軌上開始運動的初速度大小為v0,方向平行于導軌.忽略金屬桿與導軌的電阻,不計摩擦.證明金屬桿運動到總路程的λ(0≤λ≤1)倍時,安培力的瞬時功率為P=$\frac{{{{(1-λ)}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$.

分析 金屬棒運動切割磁感線產生感應電動勢,回路中有感應電流,感應電流在磁場中受到安培力的作用,取極短的時間運用動量定理列式,運用微元法證明.

解答 證明:設運動過程中任意時刻的速度為v,運動的總位移為x,則E=Blv,而$i=\frac{E}{R}$,則金屬棒受到的安培力$F=Bil=\frac{{{B^2}{l^2}v}}{R}$
在極端的時間△t內,由動量定理得-F•△t=m•△v
即$-\frac{{{B^2}{l^2}v△t}}{R}=m△v$,對全過程累加得$-\frac{{{B^2}{l^2}x}}{R}=m{v_0}$
當x'=λx時,$v={v_0}-\frac{{{B^2}{l^2}λx}}{mR}$,即v=(1-λ)v0
此時安培力$F'=\frac{{(1-λ){B^2}{l^2}{v_0}}}{R}$,瞬時功率$P=F'v=\frac{{{{(1-λ)}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$.
所以金屬桿運動到總路程的λ(0≤λ≤1)倍時,安培力的瞬時功率為P=$\frac{{{{(1-λ)}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$.

點評 此題涉及微元法的應用,微元法在自主招生考試中經常出現(xiàn),值得引起高度重視.同時,應用動量定理解決安培力的相關問題,在華約自主招生中經常出現(xiàn),最近的是2011年華約自主招生物理試題第7題,詳見參考文獻.

練習冊系列答案
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B.${\;}_{1}^{2}$H+${\;}_{1}^{3}$H→${\;}_{2}^{4}$He+${\;}_{0}^{1}$n
C.重核裂變過程中有質量虧損
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1.如圖所示,光滑的平行金屬導軌水平放置,電阻不計,導軌間距為l,左側接一阻值為R的電阻,區(qū)域cd以右區(qū)域內存在垂直導軌平面向下的有界勻強磁場,一質量為m、電阻為r的直金屬棒MN置于導軌上,與導軌垂直且接觸良好,受到F=0.5v+0.4(N)(v為金屬棒速度)的水平外力作用,從磁場的左邊界由靜止開始運動,測得電阻兩端電壓隨時間均勻增大.(已知:l=1m,m=1Kg,R=0.3Ω,r=0.2Ω)
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18.跳傘運動員做低空跳傘表演,飛機離地面H高處懸停,運動員離開飛機在豎直方向做自由落體運動,經過一段時間后,在距地面h=99m處立即打開降落傘,展開傘后運動員以12.5m/s2的加速度在豎直方向上勻減速下降,一只運動員落地時豎直方向的速度為5m/s,重力加速度g=10m/s2,求:
(1)飛機離地面的高度H為多少?
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