Question

圖示為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺(tái)皮帶傳送機(jī)組成，一臺(tái)水平傳送，A、B 兩端相距3m ，另一臺(tái)傾斜，傳送帶與地面的傾角θ= 37°, C、D 兩端相距4.45m , B、C 相距很近。水平部分AB 以5m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。將質(zhì)量為10 kg 的一袋大米放在A 端，到達(dá)B 端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD 部分，米袋與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5。試求：

(1)若CD 部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離。

(2)若要米袋能被送到D 端，求CD 部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件及米袋從C 端到D 端所用時(shí)間的取值范圍。(g=10m/s² ,sin37°=0.6 , cos37°=0.8）

Answer 1

（1）1.25m

（2）1.16s≤t≤2.1s

解析:

⑴米袋在AB上加速時(shí)的加速度：

a₀=μmg/m=μg=5m/s²①

米袋的速度達(dá)到v₀=5m/s/時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離：

s₀=v₀²/2a₀=2.5m<3m②

因此米袋在達(dá)到B點(diǎn)之前就與傳送帶具有了相同的速度：

設(shè)米袋在CD上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a,上升的最大距離為s_max，由牛頓第二定律得：

a=(mgsinθ+μmgcosθ）/m=10m/s²③

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

s_max=v₀²/(2a)=1.25m④

⑵設(shè)CD部分運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v₁(v₁<5m/s)時(shí)米袋恰能到達(dá)D點(diǎn)(即米袋到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度恰好為零)，則米袋速度減為v₁之前的加速度大小為：

a₁=(mgsinθ+μmgcosθ）/m=10m/s²⑤

米袋速度達(dá)到至減為零前的加速度大小為：

a₂=(mgsinθ-μmgcosθ）/m=2m/s²⑥

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

(v₀²-v₁²)/(2a₁)+v₁²/(2a₂)=4.45⑦  

解得v₁=4m/s，即要把米袋送到D點(diǎn)，CD部分的速度V_CD≥v₁=4m/s⑧  

米袋恰能運(yùn)到D點(diǎn)所用時(shí)間最長為：

 t_max=(v₀-v₁)/a₁+v₁/a₂=2.1s⑨  

若CD部分傳送帶的速度很大，使米袋沿CD上滑時(shí)所受摩擦力一直沿皮帶向上，則所用時(shí)間最短，此種情況米袋加速度一直為a₂。

由S_CD=v₀t_min-a₂t_min²/2⑩ 

解得t_min=1.16s（用帶根式的答案也可）⑾ 

所以，所求的時(shí)間t的范圍為1.16s≤t≤2.1s⑿