Question

16．如圖所示，天花板O點(diǎn)系有一輕質(zhì)彈簧，彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)₀=9cm，勁度系數(shù)k=5N/cm，彈簧下端系有一質(zhì)量為m=0.4kg的小球．小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面距離地面的高度為H=25cm，空氣阻力可忽略（已知g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）則：
（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧與豎直方向所成角度為θ=37⁰，彈簧的長(zhǎng)度L是多少；（彈簧此時(shí)在彈性限度之內(nèi)）
（2）若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，輕質(zhì)彈簧與小球的連接處突然斷裂，小球落地點(diǎn)距離軌道平面軸線(xiàn)OO，距離為多少．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球受力分析，根據(jù)豎直方向上平衡求出彈簧的彈力，結(jié)合胡克定律求出彈簧的長(zhǎng)度．
（2）根據(jù)合力提供向心力求出小球的線(xiàn)速度，結(jié)合高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，根據(jù)幾何關(guān)系求出落點(diǎn)與軌道平面軸線(xiàn)OO′距離．

解答 解：（1）設(shè)彈簧拉力為F，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，以小球作為研究對(duì)象，有：
F=$\frac{mg}{cosθ}=\frac{4}{0.8}=5N$．
根據(jù)胡克定律得，F(xiàn)=k（L-L₀），
代入數(shù)據(jù)解得L=10cm．
（2）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，有：$mgtanθ=m\frac{{v}^{2}}{r}$，r=Lsinθ，
代入數(shù)據(jù)解得$v=\frac{3\sqrt{5}}{10}m/s$．
平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.25}{10}}=\frac{\sqrt{5}}{10}s$．
小球的水平位移x=$vt=\frac{3\sqrt{5}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{10}=0.15m$，
則小球落地點(diǎn)與軌道平面軸線(xiàn)OO′距離為s=$\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}$，
代入數(shù)據(jù)解得s=16cm．
答：（1）彈簧的長(zhǎng)度L是10cm．
（2）小球落地點(diǎn)距離軌道平面軸線(xiàn)OO′距離為16cm

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵，注意平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移不是小球落地點(diǎn)距離軌道平面軸線(xiàn)OO′距離．