Question

2．如圖所示，A、B兩物體通過一柔軟且不可以伸長的軟繩連接，跨在光滑小滑輪兩側(cè)，軟繩與水瓶接觸面平行，已知A、B兩物體的質(zhì)量為m，且可視為質(zhì)點(diǎn)，軟繩質(zhì)量也為m，長為2L，平臺離地面高圍毆L，不計(jì)運(yùn)動過程中的一切摩擦．初軟繩全部在水平面內(nèi)，現(xiàn)無初速釋放B，A、B在重力作用下開始運(yùn)動，若B觸地后不再反彈．
（1）剛釋放B物體時，A、B物體的加速度為多少？
（2）當(dāng)B即將落地瞬間，A、B兩物體的速度為多少？
（3）在A物體滑到定滑輪前過程中，試寫出其加速度與運(yùn)動位移的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）對AB及繩沿繩子的方向進(jìn)行分析，開始下落時，沿繩子的拉力為B的重力，沿繩子由牛頓第二定律列式求解即可；
（2）B即將落地時，B及繩子的重力勢能減小，由機(jī)械能守恒可求得AB兩物體的速度；
（3）整體運(yùn)動后，平臺下方的繩子長度增長，則沿繩子方向上的拉力增大，分析x與臺下繩長的關(guān)系，結(jié)合牛頓第二定律可求得加速度與位移之間的關(guān)系．

解答 解：（1）剛釋放B時，整體在沿繩方向只受B的重力，則有：
mg=3ma；
解得：a=$\frac{g}{3}$；
（2）下落過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，B及右側(cè)L長的繩子減小的勢能轉(zhuǎn)化為動能；
則有：
mgL+$\frac{mg}{2}$×$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$×3mv²；
解得：v=$\sqrt{\frac{5gL}{6}}$；
（3）設(shè)A的位移為x，則繩子垂下的長度為x；
則在B落地之前，整體沿繩受到的拉力F=mg+$\frac{x}{L}$mg；
則有牛頓第二定律可知：
F=3ma；
解得：a=$\frac{g}{3}$+$\frac{xg}{6L}$；
B落地后，即L＜x＜2L過程中：
拉力為：F=$\frac{mg}{2}$
則由牛頓第二定律可知：
$\frac{mg}{2}$=（m+$\frac{3L-x}{2L}$m）a
解得：a=$\frac{Lg}{5L-x}$
答：（1）剛釋放B物體時，A、B物體的加速度為$\frac{g}{3}$；
（2）當(dāng)B即將落地瞬間，A、B兩物體的速度為$\sqrt{\frac{5gL}{6}}$
（3）在A物體滑到定滑輪前過程中，試寫出其加速度與運(yùn)動位移的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)x≤L時；a=$\frac{g}{3}$+$\frac{xg}{6L}$；當(dāng)x＞L時，a=$\frac{Lg}{5L-x}$

點(diǎn)評 本題考查機(jī)械能守恒定律及牛頓第二定律的應(yīng)用，注意本題適用牛頓第二定律中的連接體問題，難點(diǎn)在于繩子的質(zhì)量不能忽略；故沿繩子方向上的拉力在變化．