Question

16．當(dāng)物體從高空下落時，空氣對物體的阻力會隨物體的速度增大而增大，因此，物體下落一段距離后將會勻速下落，這個速度被稱為收尾速度．研究發(fā)現(xiàn)，在相同環(huán)境條件下，球形物體的收尾速度僅與球半徑及質(zhì)量有關(guān)．如表是某次研究的實驗數(shù)據(jù)：（重力加速度g取10m/s²）

小球	A	B	C	D	E
小球半徑r（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2.0	2.5
小球質(zhì)量m（×10-6kg）	2	5	45	40	100
小球收尾速度v（m/s）	16	40	40	20	32

（1）試根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出B、C兩球達到收尾速度時，所受的空氣阻力比；
（2）試根據(jù)表中數(shù)據(jù)，歸納出球形物體所受的空氣阻力f與球的速度v及球的半徑r的關(guān)系式（寫出表達式及比例系數(shù)）；
（3）將C、D兩小球用輕繩連接，若它們在下落時所受空氣阻力與單獨下落時的規(guī)律相同，讓它們同時從足夠高處下落，試求出它們的收尾速度和此時細(xì)繩的拉力．

Answer 1

分析 當(dāng)小球達到首尾速度時，重力等于阻力，根據(jù)重力的大小求出空氣阻力之比．
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)歸納總結(jié)球形物體所受的空氣阻力f與球的速度v及球的半徑r的關(guān)系式．
抓住重力和阻力大小相等求出首尾的速度．根據(jù)阻力大小，隔離對D球分析，求出繩子的拉力大�。�

解答 解：（1）達到收尾速度時f=mg，
所以f_B：f_C=1：9，
（2）由A、B得：f∝v，
由B、C得：f∝r²，
所以f=kvr²，代入一組數(shù)據(jù)得：k=5Ns/m³，所以f=5vr²．
（3）（m_C+m_D）g=kv（r_C²+r_D²），所以
v=$\frac{（{m}_{C}+{m}_{D}）g}{k（{{r}_{C}}^{2}+{{r}_{D}}^{2}）}$=$\frac{（45+40）×10-5}{5（1.52+22）×10-6}$m/s=27.2 m/s，
f_D=5×27.2×（2×10^-3）²=5.44×10^-4 N，f_C=5×27.2×（1.5×10^-3）²=3.06×10^-4 N，
對D球受力分析有：f_D=m_Dg+F，得F=1.44×10^-4 N．
答：（1）B、C兩球達到收尾速度時，所受的空氣阻力比為1：9．
（2）球形物體所受的空氣阻力f與球的速度v及球的半徑r的關(guān)系式為f=5vr²．
（3）首尾速度為27.2m/s，繩子拉力為1.44×10^-4 N

點評 本題考查收尾速度、小球半徑以及阻力的關(guān)系，關(guān)鍵知道物體達到收尾速度時重力等于阻力，要學(xué)會應(yīng)用控制變量法解題，還要學(xué)會分析數(shù)據(jù)．