Question

如圖所示，兩根相距為 d 的足夠長的平行光滑金屬導軌位于水平的 xy 平面內，一端接有阻值為R 的電阻。在 X > 0 的一側存在垂直紙面向里的磁場，磁感應強度B隨X 的增大而增大，B = kx，式中k 是一常量。一質量為 m 的金屬直桿與金屬導軌垂直，可在導軌上滑動，當t = 0 時位于 x = 0處，速度為 v ₀ ，方向沿 x 軸的方向。在運動過程中，有一大小可調節(jié)方向始終不變的外力F作用于金屬桿的加速度恒定，大小為a ，方向沿x 軸的負方向。當金屬桿的速度大小為 v ₀ / 2時，求所加外力的大小。設金屬導軌與桿的電阻不計。

Answer 1

以 x₁ 表示金屬桿的速度變?yōu)?V₁ = V₀ / 2時它所在的x 坐標，對于勻減速直線運動有：V₁² = V₂⁰ - 2 a x₁ (1)以V₁ = V₀ / 2 代入得：x₁ = 3V₀² / 8a (2)由題給條件得出此時金屬桿所在處的磁感應強度：B₁ = 3RV₀² / 8a (3)此時金屬桿產生感應電動勢為：ε₁ = B₁ V₁ d = 3kV₀³ d / 16a (4)回路中電流為 I =ε₁ / R = 3kV₀³ d / 16aR (5)金屬桿受到的安培力為：f = B₁ Id = 9k²V₀⁵ d ²/ 128 a² R (6) 由題意知，F方向始終向x 軸負方向，當金屬桿向 x 正方向運動時有：F₁ +f = ma (7)得 F₁ = ma - 9k²V₀⁵ d ²/ 128 a² R (8)當金屬桿向x 負方向運動時有F₂ - f = ma (9)得： F₂ = ma + 9k²V₀⁵ d ²/ 128 a² R (10)評分標準：(8)和(10) 各1分，其余每式2分