Question

19．如圖所示，在磁感應強度為B的水平勻強磁場中，有一豎直放置的光滑的平行金屬導軌，導軌平面與磁場垂直，導軌間距為L，頂端接有阻值為R的電阻．將一根金屬棒從導軌上的M處以速度v₀豎直向上拋出，棒到達N處后返回，回到出發(fā)點M時棒的速度為拋出時的一半．已知棒的長度為L，質(zhì)量為m，電阻為r．金屬棒始終在磁場中運動，處于水平且與導軌接觸良好，忽略導軌的電阻．重力加速度為g．
（1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，求：
a．電阻R消耗的電能；
b．金屬棒運動的時間．
（2）經(jīng)典物理學認為，金屬的電阻源于定向運動的自由電子與金屬離子的碰撞．已知元電荷為e．求當金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時，棒中金屬離子對一個自由電子沿棒方向的平均作用力大小．

Answer 1

分析 （1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，動能減少轉(zhuǎn)化為電能，根據(jù)能量守恒定律求電阻R消耗的電能．由于金屬棒在運動過程中所受的安培力隨著速度的變化而變化，做的是非勻變速運動，不能用運動學公式求時間，可運用動量定理和微元法結合求解．
（2）當金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時重力的功率等于回路的電功率．根據(jù)電流的微觀表達式I=neSv和金屬棒生熱功率公式P_r=（nSL）fv，結合進行解答．

解答 解：
（1）a．金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，由能量守恒
回路中消耗的電能  $Q=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}m{（{\frac{v_0}{2}}）^2}=\frac{3}{8}mv_0^2$
電阻R消耗的電能  ${Q_R}=\frac{R}{R+r}•Q=\frac{3Rmv_0^2}{8（R+r）}$
b．方法一：
金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，取向下為正方向，由動量定理得：$mg•t+{I_安}=m•\frac{v_0}{2}-（{-m{v_0}}）$
將整個運動過程劃分成很多小段，可認為在每個小段中感應電動勢幾乎不變，設每小段的時間為△t．
則安培力的沖量 I_安=Bi₁L•△t+Bi₂L•△t+Bi₃L•△t+…I_安=BL（i₁•△t+i₂•△t+i₃•△t+…）I_安=BLq
又  $q=\overline It$，
$\overline I=\frac{\overline E}{R+r}$，
$\overline E=\frac{△Φ}{t}$
因為△Φ=0，
所以I_安=0
解得  $t=\frac{{3{v_0}}}{2g}$
方法二：
金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，由動量定理$mg•t+{I_安}=m•\frac{v_0}{2}-（{-m{v_0}}）$
將整個運動過程劃分成很多小段，可認為在每個小段中感應電動勢幾乎不變，設每小段的時間為△t．
則安培力的沖量${I_安}=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}{v_1}•△t+\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}{v_2}•△t+\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}{v_3}•△t+…$${I_安}=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}（{v_1}•△t+{v_2}•△t+{v_3}•△t+…）$
因為棒的位移為0，則  v₁•△t+v₂•△t+v₃•△t+…=0
所以  I_安=0
解得  $t=\frac{{3{v_0}}}{2g}$
方法三：
金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，由動量定理得 $mg•t+{I_安}=m•\frac{v_0}{2}-（{-m{v_0}}）$
棒的速度v隨時間t變化的圖象如圖所示．

因為棒所受安培力${F_安}=BiL=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}•v∝v$
所以棒所受安培力F_安隨時間t變化的圖象亦大致如此．
棒的位移為0，則v-t圖線與橫軸所圍“總面積”為0，F(xiàn)_安-t圖線與橫軸所圍“總面積”也為0，即整個過程中安培力的沖量I_安=0．
解得  $t=\frac{{3{v_0}}}{2g}$
（2）方法一：
當金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時  mg=F_m
其中  ${F_m}=\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{R+r}$
解得  ${v_m}=\frac{{mg（{R+r}）}}{{{B^2}{L^2}}}$
沿棒方向，棒中自由電子受到洛倫茲力ev_mB、電場力eE和金屬離子對它的平均作用力f作用．因為棒中電流恒定，所以自由電子沿棒的運動可視為勻速運動．
則  f+eE=ev_mB
又  $E=\frac{U}{L}$$U=\frac{{BL{v_m}}}{R+r}•R$
解得  $f=\frac{emgr}{{B{L^2}}}$
方法二：
當金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時
單位時間內(nèi)機械能減少  P=mgv_m
金屬棒生熱功率  P_r=$\frac{r}{R+r}P$
回路中的電流  $I=\frac{{BL{v_m}}}{R+r}$
設棒的橫截面積為S，棒中單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，棒中自由電子定向移動的速度為v，金屬離子對自由電子的平均作用力為f．
則  P_r=（nSL）fv，I=neSv．
所以  $f=\frac{emgr}{{B{L^2}}}$
答：
（1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，a．電阻R消耗的電能為$\frac{3Rm{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$；b．金屬棒運動的時間為$\frac{3{v}_{0}}{2g}$．
（2）當金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時，棒中金屬離子對一個自由電子沿棒方向的平均作用力大小為$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵是學會運用微元法求變加速運動的時間，掌握金屬棒穩(wěn)定的條件，理解宏觀與微觀聯(lián)系的橋梁是電流的微觀表達式．