Question

邊長為a的正方形剛性絕緣框架ABCD內(nèi)有垂直于框架平面的勻強(qiáng)磁場．磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為 m，帶電量為q的小球，從BC邊的中點(diǎn)小孔P處以某一速度V₀垂直于BC邊射入磁場，設(shè)小球與框架相碰后不損失能量和電量，小球的重力不計．求
（1）為使小球在最短時間內(nèi)從P點(diǎn)出來，小球的入射速度v₀是多少？
（2）為使小球能從P點(diǎn)出來，小球的入射速度v₀的所有可能值以及與之對應(yīng)的在框架內(nèi)運(yùn)動的總時間t．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，粒子經(jīng)AB、AD、DC的中點(diǎn)垂直反彈后能以最短的時間射出框架．然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力即可求出速度；

解答：解：（1）根據(jù)題意，粒子經(jīng)AB、AD、DC的中點(diǎn)垂直反彈后能以最短的時間射出框架．即粒子的運(yùn)動半徑是：R=

a

2

由洛倫茲力提供向心力：qv0B=m

v02

R

所以v0=

qBR

m

=

qBa

2m

（2）為使小球能從P點(diǎn)出來，粒子必須垂直打在框架上，
所以R=

a

2n

，（其中n=1，2，3…）
由洛倫茲力提供向心力：qv0B=m

v02

R

所以v0=

qBR

m

=

qBa

2nm

，（其中n=1，2，3…）
設(shè)粒子圓周運(yùn)動的周期為T，由洛倫茲力等于向心力得：qvB=m

v2

R

=m

4π2R

T2

解得：T=

2πm

Bq

當(dāng)n為奇數(shù)時，對應(yīng)的時間為t=(2n-1)T=

(2n-1)2πm

qB

，（其中n=1，3，5，7…）
當(dāng)n為偶數(shù)時，在AB、DC段做直線運(yùn)動的時間為t1=

2a

v0

=

2a

qBa 2nm

=

4nm

qB

，（其中n=2，4，6，8…）
在BC、AD段的圓周運(yùn)動的時間為：t2=nT=

2nπm

qB

，（其中n=2，4，6，8…）
故總時間為t=t₁+t₂=

4nm

qB

+

2nπm

qB

=

2nm(π+2)

qB

，（其中n=2，4，6，8…）
答：（1）為使小球在最短時間內(nèi)從P點(diǎn)出來，小球的入射速度v₀是

qBa

2m

．
（2）為使小球能從P點(diǎn)出來，小球的入射速度v₀的值為

qBa

2nm

，（其中n=1，2，3…）．
當(dāng)n為奇數(shù)時，對應(yīng)的時間為t=(2n-1)T=

(2n-1)2πm

qB

，（其中n=1，3，5，7…）
當(dāng)n為偶數(shù)時，對應(yīng)的時間為t=

2nm(π+2)

qB

，（其中n=2，4，6，8…）

點(diǎn)評：根據(jù)題意，判斷出粒子經(jīng)AB、AD、DC的中點(diǎn)垂直反彈后能以最短的時間射出框架，根據(jù)粒子運(yùn)動的半徑，找出粒子的運(yùn)動規(guī)律，判斷出粒子經(jīng)歷的圓周數(shù)是關(guān)鍵．