Question

如圖17-1所示，Ａ、Ｂ是靜止在水平地面上完全相同的兩塊長(zhǎng)木板．Ａ的左端和Ｂ的右端相接觸．兩板的質(zhì)量皆為M＝2．0ｋｇ，

長(zhǎng)度皆為L(zhǎng)＝1．0ｍ．Ｃ是質(zhì)量為ｍ＝1．0ｋｇ的小物塊．現(xiàn)給它一初速度ｖ₀＝2．0ｍ／ｓ，使它從板Ｂ的左端向右滑動(dòng)．已知地面是光滑的，而Ｃ與板Ａ、Ｂ之間的動(dòng)摩擦因數(shù)皆為μ＝0．10．求最后Ａ、Ｂ、Ｃ各以多大的速度做勻速運(yùn)動(dòng)．取重力加速度ｇ＝10ｍ／ｓ^２．

Answer 1

Ａ、Ｂ、Ｃ的速度分別為ｖ_Ａ＝ｖ₃＝0．563ｍ／ｓ，ｖ_Ｂ＝ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ，ｖ_Ｃ＝ｖ_Ａ＝0．563ｍ／ｓ．

解析:

先假設(shè)小物塊Ｃ在木板Ｂ上移動(dòng)ｘ距離后，停在Ｂ上．這時(shí)Ａ、Ｂ、Ｃ三者的速度相等，設(shè)為ｖ，由動(dòng)量守恒得

ｍｖ₀＝（ｍ＋2Ｍ）ｖ，　　　　�、�

在此過程中，木板Ｂ的位移為ｓ，小物塊Ｃ的位移為ｓ＋ｘ．由功能關(guān)系得

－μｍｇ（ｓ＋ｘ）＝（1/2）ｍｖ^２－（1/2）ｍｖ₀²，

μｍｇｓ＝2Ｍｖ²／2，

則　－μｍｇｘ＝（1/2）（ｍ＋2Ｍ）ｖ²－（1/2）ｍｖ₀²，②

由①、②式，得

ｘ＝［ｍｖ₀²／（2Ｍ＋ｍ）μｇ］，　　　　　　　　　�、�

代入數(shù)值得�。�＝1．6ｍ．　　　　　　　　　　　　　　�、�

ｘ比Ｂ板的長(zhǎng)度大．這說明小物塊Ｃ不會(huì)停在Ｂ板上，而要滑到Ａ板上．設(shè)Ｃ剛滑到Ａ板上的速度為ｖ₁，此時(shí)Ａ、Ｂ板的速度為ｖ₂，則由動(dòng)量守恒得

ｍｖ₀＝ｍｖ₁＋2Ｍｖ₂，　　　　　　　　　　　　　　　　⑤

由功能關(guān)系，得（1/2）ｍｖ₀²－（1/2）ｍｖ₁^２－2×（1/2）ｍｖ₂^２＝μｍｇＬ，

以題給數(shù)據(jù)代入，得

由ｖ₁必是正值，故合理的解是

當(dāng)滑到Ａ之后，Ｂ即以ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ做勻速運(yùn)動(dòng)，而Ｃ是以ｖ₁＝1．38ｍ／ｓ的初速在Ａ上向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)在Ａ上移動(dòng)了ｙ距離后停止在Ａ上，此時(shí)Ｃ和Ａ的速度為ｖ₃，由動(dòng)量守恒得

Ｍｖ₂＋ｍｖ₁＝（ｍ＋Ｍ）ｖ₃，

解得　�。�₃＝0．563ｍ／ｓ．

由功能關(guān)系得

（1/2）ｍｖ₁²＋（1/2）ｍｖ₂²－（1/2）（ｍ＋Ｍ）ｖ₃²＝μｍｇｙ，

解得　　�。�＝0．50ｍ．

ｙ比Ａ板的長(zhǎng)度小，所以小物塊Ｃ確實(shí)是停在Ａ板上．最后Ａ、Ｂ、Ｃ的速度分別為ｖ_Ａ＝ｖ₃＝0．563ｍ／ｓ，ｖ_Ｂ＝ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ，ｖ_Ｃ＝ｖ_Ａ＝0．563ｍ／ｓ．

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)　本題的題型是常見的碰撞類型，考查的知識(shí)點(diǎn)涉及動(dòng)量守恒定律與動(dòng)能關(guān)系或動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)等重點(diǎn)知識(shí)的綜合，能較好地考查學(xué)生對(duì)這些重點(diǎn)知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)動(dòng)的熟練程度．題給數(shù)據(jù)的設(shè)置不夠合理，使運(yùn)算較復(fù)雜，影響了學(xué)生的得分．從評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中可以看出，論證占的分值超過本題分值的50%，足見對(duì)論證的重視．而大部分學(xué)生在解題時(shí)恰恰不注重這一點(diǎn)，平時(shí)解題時(shí)不規(guī)范，運(yùn)算能力差等，都是本題失分的主要原因．

解法探析　本題參考答案中的解法較復(fù)雜，特別是論證部分，①、②兩式之間的兩個(gè)方程可以省略．下面給出兩種較為簡(jiǎn)捷的論證和解題方法．

解法一　從動(dòng)量守恒與功能關(guān)系直接論證求解．設(shè)Ｃ剛滑到Ａ板上的速度為ｖ₁，此時(shí)Ａ、Ｂ板的速度為ｖ₂，則由動(dòng)量守恒，得?

ｍｖ_０＝ｍｖ₁＋2Ｍｖ₂，

以系統(tǒng)為對(duì)象，由功能關(guān)系，得

1/2）ｍｖ₀²－（1/2）ｍｖ₁²－2×（1/2）ｍｖ₂²＝μｍｇＬ，

由于ｖ₁只能取正值，以題給數(shù)據(jù)代入得到合理的解為

由于小物塊Ｃ的速度ｖ₁大于Ａ、Ｂ板的速度ｖ₂，這說明小物塊Ｃ不會(huì)停在Ｂ板上．

以上過程既是解題的必要部分，又作了論證，比參考答案中的解法簡(jiǎn)捷．后面部分與參考答案相同，不再綴述．

解法二　從相對(duì)運(yùn)動(dòng)論證，用動(dòng)量守恒與功能關(guān)系求解．

以地面為參照系，小物塊Ｃ在Ａ、Ｂ上運(yùn)動(dòng)的加速度為ａ_Ｃ＝μｇ＝1ｍ／ｓ²，Ａ、Ｂ整體的加速度為ａ_ＡＢ＝μｍｇ／2Ｍ＝0．25ｍ／ｓ²，Ｃ相對(duì)Ａ、Ｂ的加速度ａ＝ａ_Ｃ＋ａ_ＡＢ＝1．25ｍ／ｓ²．假設(shè)Ａ、Ｂ一體運(yùn)動(dòng)，以Ａ、Ｂ整體為參照物，當(dāng)Ｃ滑至與整體相對(duì)靜止時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有

ｖ₀²＝2ａｓ，

解得　　　�。螅剑�₀²／2ａ＝1．6ｍ＞Ｌ．

說明小物塊Ｃ不會(huì)停在Ｂ板上．