Question

如圖是放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成：水平直軌AB，半徑分別為R₁=1.0m和R₂=3.0m的弧形軌道，傾斜直軌CD長為L=6m，AB、CD與兩圓形軌道相切，其中傾斜直軌CD部分表面粗糙，動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

1

6

，其余各部分表面光滑．一質(zhì)量為m=2kg的滑環(huán)（套在滑軌上），從AB的中點(diǎn)E處以v₀=10m/s的初速度水平向右運(yùn)動(dòng)．已知θ=37°，（g取10m/s²）求：
（1）滑環(huán)第一次通過O₂的最低點(diǎn)F處時(shí)對軌道的壓力；
（2）滑環(huán)通過O₁最高點(diǎn)A的次數(shù)；
（3）滑環(huán)克服摩擦力做功所通過的總路程．

Answer 1

分析：（1）從E到F過程中，由機(jī)械能守恒可求得F點(diǎn)的速度，再由向心力公式可求得F處軌道的支持力，再由牛頓第三定律可求得滑環(huán)對軌道的壓力；
（2）滑環(huán)在CD軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于克服摩擦力做功而減小動(dòng)能，產(chǎn)生內(nèi)能；由能量守恒定律可求得通過最點(diǎn)高的次數(shù)；
（3）圓環(huán)最后只能在DF之間滑動(dòng)，則由能量守恒定律可求得滑環(huán)克服摩擦力做功的總路程．

解答：解：（1）滑環(huán)從E點(diǎn)滑到F點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒得：

1

2

mv02+mg△h=

1

2

m vF2①
在F點(diǎn)對滑環(huán)分析受力，得FN-mg=m

vF2

R2

…②
由①②式得：FN=

500

3

N…③
根據(jù)牛頓第三定律得滑環(huán)第一次通過O₂的最低點(diǎn)F處時(shí)對軌道的壓力為

500

3

N…④
（2）由幾何關(guān)系可得傾斜直軌CD的傾角為37°，每通過一次克服摩擦力做功為：W_克=μmgLcosθ，得W_克=16J…⑤
Ek0=

1

2

m

v

2 0

n=

Ek0

W克

=6.25，取6次…⑥
（3）由題意可知得：滑環(huán)最終只能在O₂的D點(diǎn)下方來回晃動(dòng)，即到達(dá)D點(diǎn)速度為零，
由能量守恒得：

1

2

mv02+mgR2(1+cosθ)=μmgscosθ…⑦
解得：滑環(huán)克服摩擦力做功所通過的路程s=78m…⑧
答：（1）對軌道的壓力為

500

3

N；（2）滑環(huán)通這最高點(diǎn)的次數(shù)為6次；（3）滑環(huán)克服摩擦力做功所通過的路程．

點(diǎn)評：本題考查能量守恒及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，注意最后若圓環(huán)將無法滑上D處，只能在F兩側(cè)來回滑動(dòng)．