Question

如圖所示，粒子源O產生初速度為零、電荷量為q、質量為m的正離子，被電壓為U₀的加速電場加速后通過直管，在到兩極板等距離處垂直射入平行板間的偏轉電場，兩平行板間電壓為U₀．離子偏轉后通過極板MN上的小孔S離開電場．已知ABC是一個外邊界為等腰三角形的勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，邊界AB=AC=L，θ=30°，離子經過一段勻速直線運動，垂直AB邊從AB中點進入磁場．（忽略離子所受重力）
試求：
（1）若磁場的磁感應強度大小為B₀，離子在磁場中做圓周運動的半徑；
（2）若離子能從AC邊穿出，試求磁場的磁感應強度大小的范圍．

Answer 1

分析：（1）離子經過兩個電場加速，根據動能定理列式求解離子離開第二個電場時的速度，即為進入磁場時的速度．在磁場中離子作勻速圓周運動，由洛倫茲力充當向心力，列式即可求得圓周運動的半徑；
（2）當離子的軌跡恰好與AC邊相切時，軌跡半徑最小，磁感應強度B最大，由幾何關系求出離子能從AC邊穿出時軌跡的最小半徑，從而由牛頓第二定律求得B的最小值，即可得到B的范圍．

解答：解：（1）設離子進入磁場的速度為v，離子從O運動到S的過程，根據動能定理可得：
    qU₀+

1

2

qU₀=

1

2

mv2
離子進入磁場后，由牛頓第二定律可知：qvB₀=m

v2

R

聯立上兩式得離子在磁場中做圓周運動的半徑：R=

1

B0

3mU0 q

．
（2）當離子的軌跡恰好與AC邊相切時，如圖所示，離子能從AC邊穿出的軌跡半徑最小，磁感應強度B最大，
由幾何知識得：r+

r

sin30°

=

L

2

得，r=

1

6

L
又離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，得：qvB=m

v2

r

      
可得：B=

6

L

3mU0 q

要滿足離子能從AC邊穿出，則必須有：B＜

6

L

3mU0 q

．
答：（1）若磁場的磁感應強度大小為B₀，離子在磁場中做圓周運動的半徑為

1

B0

3mU0 q

；（2）若離子能從AC邊穿出，磁場的磁感應強度大小的范圍為B＜

6

L

3mU0 q

．

點評：解決本題的關鍵畫出粒子運動的軌跡圖，理清粒子在整個過程中的運動情況，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．