Question

小型登月器連接在航天站上，一起繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為月球半徑的3倍，某時(shí)刻，航天站使登月器減速分離，登月器沿如圖所示的橢圓軌道登月，在月球表面逗留一段時(shí)間完成科考工作后，經(jīng)快速啟動(dòng)仍沿原橢圓軌道返回，當(dāng)?shù)谝淮位氐椒蛛x點(diǎn)時(shí)恰與航天站對(duì)接，登月器快速啟動(dòng)時(shí)間可以忽略不計(jì)，整個(gè)過(guò)程中航天站保持原軌道繞月運(yùn)行．已知月球表面的重力加速度為g，月球半徑為R，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則登月器可以在月球上停留的最短時(shí)間約為（　　）

A．4.7π R g

B．3.6π R g

C．1.7π R g

D．1.4π R g

Answer 1

設(shè)登月器和航天飛機(jī)在半徑3R的軌道上運(yùn)行時(shí)的周期為T，
因其繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，
所以應(yīng)用牛頓第二定律有

GMm

r2

=m

4π2r

T2

r=3R
T=2π

r3 GM

=6π

3R3 GM

，
在月球表面的物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力，
GM=gR²
所以T=6π

3R g

，①
設(shè)登月器在小橢圓軌道運(yùn)行的周期是T₁，航天飛機(jī)在大圓軌道運(yùn)行的周期是T₂．
對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開(kāi)普勒第三定律分別有

T2

(3R)3

=

T12

(2R)3

=

T22

(3R)3

②
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間t應(yīng)滿足
t=nT₂-T₁ ③（其中，n=1、2、3、…）…
聯(lián)立①②③得t=6πn

3R g

-4π

2R g

（其中，n=1、2、3、…）
當(dāng)n=1時(shí)，登月器可以在月球上停留的時(shí)間最短，即t=4.7π

R g

故選A．