Question

17．如圖所示，固定的光滑平臺(tái)左端固定有一光滑的半圓軌道，軌道半徑為R，平臺(tái)上靜止放著兩個(gè)滑塊A、B，其質(zhì)量m_A=m，m_B=2m，兩滑塊間夾有少量炸藥．平臺(tái)右側(cè)有一木板，靜止在光滑的水平地面上，木板質(zhì)量M=3m，板面與平臺(tái)的臺(tái)面等高，板面粗糙，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，右側(cè)地面上有一立樁，立樁與木板右端的距離為s，當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)到立樁處立即被牢固粘連．點(diǎn)燃炸藥后，滑塊A恰好能夠通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)D，滑塊B沖上木板．兩滑塊都可以看作質(zhì)點(diǎn)，炸藥的質(zhì)量忽略不計(jì)，爆炸的時(shí)間極短，爆炸后兩個(gè)滑塊的速度方向在同一水平直線上，重力加速度為g．求：

（1）炸藥爆炸后滑塊A的速度大小v_A
（2）炸藥爆炸后滑塊B的速度大小v_B．
（3）①若s足夠長(zhǎng)，要使滑塊B能與木板相對(duì)靜止，則木板長(zhǎng)度L至少為多少？
     ②若木板長(zhǎng)度L=2R，立樁與木板右端的距離s可調(diào)整，調(diào)整范圍為0-2R，請(qǐng)討論滑塊B在木板上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，克服摩擦力做的功W_f與s的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）炸藥爆炸后，滑塊A做圓周運(yùn)動(dòng)，滑塊A恰好能夠通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)D，在D點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出速度v_AD．再由動(dòng)能定理求滑塊A的速度大小v_A．
（2）炸藥爆炸過(guò)程A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出B的速度v_B．
（3）B與小車(chē)組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律、功能關(guān)系結(jié)合分析答題．

解答 解：（1）以水平向右為正方向，設(shè)爆炸后滑塊A的速度大小為v_A，
滑塊A在半圓軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_AD，
由牛頓第二定律得：m_Ag=m_A$\frac{{v}_{AD}^{2}}{R}$，
解得：v_AD=$\sqrt{gR}$
滑塊A在半圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理可得：
-m_Ag•2R=$\frac{1}{2}$m_Av_AD²-$\frac{1}{2}$m_Av_AC²，
解得：v_A=v_AC=$\sqrt{5gR}$
（2）A、B爆炸過(guò)程中動(dòng)量守恒，以B的速度方向?yàn)檎�方向�?br />由動(dòng)量守恒定律得：m_Bv_B-m_Av_A=0
解得：v_B=$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$；
（3）①當(dāng)滑塊B與小車(chē)共速，設(shè)此速度為v，
整個(gè)過(guò)程中，由動(dòng)量守恒，以B的速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
  2mv_B=（2m+3m）v
對(duì)木板和滑塊B組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律得
   μ•2mgs_相對(duì)=$\frac{1}{2}$•2mv_B²-$\frac{1}{2}$（2m+3m）v²；
解得：s_相對(duì)=$\frac{15}{8}$R
即木板的最小長(zhǎng)度 L_min=s_相對(duì)=$\frac{15}{8}$R
②對(duì)木板研究，由動(dòng)能定理得
  μ•2mgs=$\frac{1}{2}$•3mv²-0；
得 s_車(chē)=$\frac{3}{4}$R（滑塊B與木板相對(duì)靜止時(shí)，木板的位移大小）
共速后，木板與立樁粘連后，若滑塊B在板上做勻減速運(yùn)動(dòng)直到停下，其位移為
  s′=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$=$\frac{1}{2}$R＞（2R-$\frac{15}{8}$R）=$\frac{1}{8}$R，即這種情況下滑塊會(huì)脫離木板
  （a）當(dāng)0＜s＜$\frac{3}{4}$R葉，木板到與立樁粘連時(shí)未與滑塊B達(dá)到共速．
分析可知，滑塊會(huì)滑離木板，滑塊B克服摩擦力做功為
   W_f=μ•2mg（L+s）=0.4mg（2R+s）
  （b）當(dāng)$\frac{3}{4}$R＜s＜2R時(shí)，木板與滑塊B先達(dá)到共速然后才與立樁粘連
木板與滑塊B共速后到碰到立樁之前，滑塊B與木板之間無(wú)摩擦力
滑塊從滑上小車(chē)到共速時(shí)克服摩擦力做功為：
   W_f1=μ•2mg（s_車(chē)+L）=0.4mg（$\frac{3}{4}$R+2R）=1.1mgR；
答：
（1）炸藥爆炸后滑塊A的速度大小v_A為$\sqrt{5gR}$．
（2）炸藥爆炸后滑塊B的速度大小v_B是$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$．
（3）①若s足夠長(zhǎng)，要使滑塊B能與木板相對(duì)靜止，則木板長(zhǎng)度L至少為$\frac{15}{8}$R．
②（a）當(dāng)0＜s＜$\frac{3}{4}$R葉，木板到與立樁粘連時(shí)未與滑塊B達(dá)到共速，滑塊B克服摩擦力做功為0.4mg（2R+s）．
  （b）當(dāng)$\frac{3}{4}$R＜s＜2R時(shí)，木板與滑塊B先達(dá)到共速然后才與立樁粘連．滑塊從滑上小車(chē)到共速時(shí)克服摩擦力做功為1.1mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題過(guò)程比較復(fù)雜，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，確定研究對(duì)象與研究過(guò)程，應(yīng)用牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．