Question

15．模擬高山滑雪運(yùn)動(dòng)娛樂(lè)場(chǎng)可簡(jiǎn)化為如圖所示的物理模型．AB為固定在豎直平面內(nèi)的傾斜直軌道，直軌道AB與光滑圓弧軌道BC相切，圓弧軌道的圓心角為37°，半徑為r=10m，C點(diǎn)與水平面相切，AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{5}{8}$，豎直墻壁CD高H=5$\sqrt{3}$m，緊靠墻壁在地面上固定一個(gè)和CD等高的四分之一圓弧形氣囊ED，E和C等高．一個(gè)質(zhì)量m=60kg的愛好者（視為質(zhì)點(diǎn)）在傾斜軌道上從距離B點(diǎn)L=5m處?kù)o止滑下，從C點(diǎn)水平拋出．（重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）運(yùn)動(dòng)愛好者經(jīng)過(guò)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大��；
（2）運(yùn)動(dòng)愛好者從C點(diǎn)拋出到接觸圓弧氣囊的時(shí)間；
（3）改變運(yùn)動(dòng)愛好者從軌道上滑下的初位置，求接觸氣囊時(shí)動(dòng)能的最小值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動(dòng)能定理研究AC過(guò)程，求得該人經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求軌道對(duì)人的支持力，再得到人對(duì)軌道的壓力．
（2）運(yùn)動(dòng)愛好者從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由分位移公式和幾何關(guān)系結(jié)合求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）改變運(yùn)動(dòng)愛好者從軌道上滑下的初位置，他平拋下落的高度不同，接觸氣囊時(shí)動(dòng)能不同．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和動(dòng)能定理得到接觸氣囊時(shí)動(dòng)能與下落高度的關(guān)系式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求接觸氣囊時(shí)動(dòng)能的最小值．

解答 解：（1）運(yùn)動(dòng)愛好者從A到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理得
    mgLsin37°+mg（r-rcos37°）-μmgLcos37°=$\frac{1}{2}$mv_c² ①
解得 v_c=5$\sqrt{2}$m/s
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得
   N-mg=m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{r}$           ②
解得 N=900N
由牛頓第三定律得，人對(duì)軌道的壓力大小為900N               
（2）設(shè)愛好者接觸到圓弧面上時(shí)水平位移為x，豎直位移為y，則有
   x=v_ct      ③
   y=$\frac{1}{2}$gt² ④
由幾何知識(shí)有
  x²+y²=H² ⑤
解得：t=1s     
（3）由x²+y²=H²可得
   v_c²t²=v_c²$\frac{2y}{g}$=H²-y² ⑤
即：v_c²=$\frac{g（{H}^{2}-{y}^{2}）}{2y}$
人接觸氣囊時(shí)動(dòng)能   E_k=$\frac{1}{2}$mv_c²+mgy=$\frac{mg{H}^{2}}{4y}$+$\frac{3}{4}$mgy  ⑥
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)$\frac{mg{H}^{2}}{4y}$=$\frac{3}{4}$mgy，解得y=5m時(shí)，動(dòng)能取得最小值：E_kmin=4500J  
答：
（1）運(yùn)動(dòng)愛好者經(jīng)過(guò)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小是900N；
（2）運(yùn)動(dòng)愛好者從C點(diǎn)拋出到接觸圓弧氣囊的時(shí)間是1s；
（3）改變運(yùn)動(dòng)愛好者從軌道上滑下的初位置，接觸氣囊時(shí)動(dòng)能的最小值是4500J．

點(diǎn)評(píng) 本題采用分段法研究，知道涉及力在空間的效應(yīng)時(shí)，運(yùn)用動(dòng)能定理可求速度．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，一要掌握分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．二要把握題中限制條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)幫助解答．