Question

20．（1）如圖，在水平地面上固定一個(gè)內(nèi)側(cè)長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的薄壁箱子．光滑的物塊B的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為$\frac{L}{2}$，其左端有一光滑小槽，槽內(nèi)裝有輕質(zhì)彈簧．開始時(shí)，使B緊貼A₁壁，彈簧處于壓縮狀態(tài)，其彈性勢(shì)能為E_P．現(xiàn)突然釋放彈簧，滑塊B被彈開．假設(shè)彈簧的壓縮量較小，恢復(fù)形變所用的時(shí)間可以忽略．求滑塊B到達(dá)A₂壁所用的時(shí)間．
（2）a．現(xiàn)將箱子置于光滑的水平地面上而不固定，仍使B緊貼A₁壁，彈簧處于壓縮狀態(tài)，其彈性勢(shì)能為E_P，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)突然釋放彈簧，滑塊B離開A₁壁后，彈簧脫落并被迅速拿出箱子．求此時(shí)滑塊B的速度v與箱子的速度V．
b．假設(shè)滑塊B在與A₁壁和A₂壁的碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失．試定量描述滑塊B相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的速度變化情況，并計(jì)算兩次碰撞之間的時(shí)間間隔．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒定律求出滑塊被彈簧彈開時(shí)的速度，結(jié)合位移和速度求出滑塊B到達(dá)A₂壁所用的時(shí)間．
（2）a、箱子和滑塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出滑塊B的速度v與箱子的速度V．
b、結(jié)合動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出第一次碰撞后箱子和滑塊的速度大小，滑塊B與A₂碰撞后，滑塊B與箱子速度的大小不變，只改變方向．當(dāng)滑塊B再與A₁碰撞后，各自的速度大小不變，只改變方向．滑塊B相對(duì)于地面以大小為變的速度做勻速運(yùn)動(dòng)．

解答 解：（1）當(dāng)箱子固定時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能釋放轉(zhuǎn)化為滑塊B的動(dòng)能，設(shè)滑塊速度v₀
${E_P}=\frac{1}{2}mv_0^2$…①
滑塊B到達(dá)A₂壁所用的時(shí)間為：${t_0}=\frac{{L-\frac{L}{2}}}{v_0}=\frac{L}{{4{E_P}}}\sqrt{2m{E_P}}$…②
（2）a．箱子置于光滑的水平地面上，彈簧釋放后，箱子與滑塊B的速度分別設(shè)為V和v，以向右為正方向，有：mv+MV=0…③
${E_P}=\frac{1}{2}m{v^2}+\frac{1}{2}M{V^2}$…④
解得：$v=\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}$…⑤
$V=-\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}$…⑥
另解：${v_1}=-\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}{V_1}=\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}$舍棄    
b．當(dāng)滑塊B與A₂發(fā)生第一次碰撞后，箱子的速度為變V₁，滑塊B的速度變?yōu)関₁
mv₁+MV₁=mv+MV=0…⑦
$\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}MV_1^2=\frac{1}{2}m{v^2}+\frac{1}{2}M{V^2}={E_P}$…⑧
解得：${v_1}=-\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}$…⑨
${V_1}=\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}$…⑩
另解：${v_1}=\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}{V_1}=-\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}$舍棄
由結(jié)果可以知道，滑塊B與A₂碰撞后，滑塊B與箱子速度的大小不變，只改變方向．
同理，當(dāng)滑塊B再與A₁碰撞后，各自的速度大小不變，只改變方向．滑塊B相對(duì)于地面以大小為變的速度$\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}$做往返運(yùn)動(dòng)．
滑塊B兩次碰撞之間的時(shí)間間隔為：$T=\frac{{\frac{L}{2}}}{{|{v_1}|+|{V_1}|}}=\frac{{\frac{L}{2}}}{{\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}+\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}}}=L\sqrt{\frac{Mm}{{8{E_P}（M+m）}}}$．
答：（1）滑塊B到達(dá)A₂壁所用的時(shí)間為$\frac{L}{4{E}_{p}}\sqrt{2m{E}_{p}}$．
（2）a、滑塊B的速度v與箱子的速度V分別為$-\sqrt{\frac{2M{E}_{P}}{m（M+m）}}$、$\sqrt{\frac{2m{E}_{p}}{M（M+m）}}$．
b、兩次碰撞之間的時(shí)間間隔為$L\sqrt{\frac{Mm}{8{E}_{p}（M+m）}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了考查了動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，第二題的第二問(wèn)難度較大，關(guān)鍵要理清箱子和滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)用動(dòng)量和能量綜合求解．