Question

3．如圖所示，質(zhì)量為m的小球被系在輕繩的一端，以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)過程中，小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某時(shí)刻小球通過圓周的最低點(diǎn)A，此時(shí)繩子的張力為10mg，此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)圓周恰能通過最高點(diǎn)B．
（1）小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為多少？動(dòng)能為多少？
（2）小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度為多少？動(dòng)能為多少？
（3）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，重力做功是多少？
（4）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，動(dòng)能變化了多少？外力對(duì)物體所做的總功為多少？
（5）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，空氣阻力對(duì)小球做了多少功？小球克服空氣阻力做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）恰能通過最高點(diǎn)B，則有mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$求出速度，根據(jù)動(dòng)能表達(dá)式求解動(dòng)能；
（2）根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解速度，根據(jù)動(dòng)能表達(dá)式求解動(dòng)能；
（3）重力做功W=mgh
（4）動(dòng)能變化△E_k=E_kB-E_kA，根據(jù)動(dòng)能定理知外力對(duì)物體所做的總功為W_總=△E_k．
（5）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，W_總=W_G+W_f知阻力做功．

解答 解：（1）恰能通過最高點(diǎn)B，則有：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
動(dòng)能為：E_kB=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgR
（2）小球通過圓周的最低點(diǎn)A，此時(shí)繩子的張力為10mg，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律知：
F-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=3$\sqrt{gR}$
動(dòng)能為：E_kA=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{9}{2}mgR$
（3）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，重力做功為：W_G=-mg•2R=-2mgR
（4）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，動(dòng)能變化為：△E_k=E_kB-E_kA=-4mgR
根據(jù)動(dòng)能定理知外力對(duì)物體所做的總功為：W_總=△E_k=-4mgR
（5）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，有：W_總=W_G+W_f
空氣阻力對(duì)小球做功為：W_f=-2mgR，
即小球克服空氣阻力做的功是2mgR．
答：（1）小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{gR}$，動(dòng)能為$\frac{1}{2}$mgR；
（2）小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度為3$\sqrt{gR}$，動(dòng)能為$\frac{9}{2}$mgR；
（3）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，重力做功是-2mgR；
（4）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，動(dòng)能變化了-4mgR，外力對(duì)物體所做的總功為-4mgR；
（5）從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過程中，空氣阻力對(duì)小球做了-2mgR；小球克服空氣阻力做的功是2mgR．

點(diǎn)評(píng) 此題考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理、功的計(jì)算注意正負(fù)，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生熟練掌握基本知識(shí)．