Question

如圖豎直平面內(nèi)有一光滑圓弧軌道，其半徑為R=0.5m，平臺(tái)與軌道的最高點(diǎn)等高．一質(zhì)量m=0.8kg的小球從平臺(tái)邊緣的A處水平射出，恰能沿圓弧軌道上P點(diǎn)的切線方向進(jìn)入軌道內(nèi)側(cè)，軌道半徑OP與豎直線的夾角為53°，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10/m²．試求：
（1）小球從平臺(tái)上的A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小v₀；
（2）小球從平臺(tái)上的射出點(diǎn)A到圓軌道人射點(diǎn)P之間的距離l；（結(jié)果可用根式表示）
（3）小球沿軌道通過圓弧的最高點(diǎn)Q時(shí)對(duì)軌道的壓力大小．

Answer 1

分析：（1）恰好從光滑圓弧PQ的P點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧，說明到到P點(diǎn)的速度v_P方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）平拋運(yùn)動(dòng)水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律求出P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離和豎直距離，并進(jìn)行合成求出位移大��；
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得Q點(diǎn)速度，再運(yùn)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解．

解答：解：（1）小球從A到P的高度差h=R（1+cos53°）①
小球做平拋運(yùn)動(dòng)有     h=

1

2

gt2  ②
則小球在P點(diǎn)的豎直分速度v_y=gt③
把小球在P點(diǎn)的速度分解可得tan53°v₀=v_y    ④
由①②③④解得：小球平拋初速度v₀=3m/s
（2）小球平拋下降高度 h=

1

2

v_yt
水平射程    s=v₀t
故A、P間的距離
l=

h2+s2

=

2 13

5

m  
（3）小球從A到達(dá)Q時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知v_Q=v₀=3m/s
在Q點(diǎn)根據(jù)向心力公式得：
m

vQ2

R

=N+mg
解得；N=m

vQ2

R

-mg=14.4-8=6.4N
根據(jù)牛頓第三定律得：小球沿軌道通過圓弧的最高點(diǎn)Q時(shí)對(duì)軌道的壓力N′=N=6.4N
答：（1）小球從平臺(tái)上的A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小為3m/s；
（2）小球從平臺(tái)上的射出點(diǎn)A到圓軌道人射點(diǎn)P之間的距離

2 13

5

m；
（3）小球沿軌道通過圓弧的最高點(diǎn)Q時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為6.4N

點(diǎn)評(píng)：恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起運(yùn)用機(jī)械能守恒解決，能夠很好的考查學(xué)生的能力，是道好題．本題是平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的典型題目，除了運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式外，求速度的問題，動(dòng)能定理不失為一種好的方法．