Question

一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇，狗與雪橇始終沿一條直線運動。若狗跳離雪橇時雪橇的速度為V，則此時狗相對于地面的速度為V+u(其中u為狗相對于雪橇的速度，V+u為代數和。若以雪橇運動的方向為正方向，則V為正值，u為負值)。設狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計。已知v的大小為5m/s，u的大小為4m/s，M=30kg，m=10kg。
（1）求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小。
（2）求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數。（供使用但不一定用到的對數值：lg2=0.301，lg3=0.477)

Answer 1

解：（1）設雪橇運動的方向為正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度為V₁，根據動量守恒定律，有

狗第1次跳上雪橇時，雪橇與狗的共同速度V₁'滿足
可解得
將代入，得
（2）設雪橇運動的方向為正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度為V_n－1，則狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度滿足
這樣，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度為V_n滿足
解得
狗追不上雪橇的條件是V_n≥v
可化為
最后可求得
代入數據，得
狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最終的速度大小為V₄=5.625m/s