Question

12．宇航員從高h(yuǎn)處以水平速度拋出一小球，不計(jì)空氣阻力，小球經(jīng)時(shí)間t落到星球表面，已知星球的半徑為R，求：
（1）該星球表面的重力加速度？
（2）要使物體沿水平方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少多大？
（3）已知該星球的半徑與地球半徑之比為p：q，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比？（已知地球表面的重力加速度為g）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出星球表面的重力加速度；
（2）要使物體沿水平方向拋出而不落回星球表面，恰好由物體的重力提供向心力，物體繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和向心力公式列式求解；
（3）在星球表面，重力等于萬有引力，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，故：
h=$\frac{1}{2}g′{t}^{2}$
解得：
g′=$\frac{2h}{{t}^{2}}$    ①
（2）根據(jù)重力等于向心力，有：
mg′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
v=$\sqrt{g′R}$   ②
聯(lián)立①②解得：
v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
（3）在星球表面，重力等于萬有引力，故：
$mg=G\frac{Mm}{R^2}$
解得：
$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
已知該星球的半徑與地球半徑之比為p：q，重力加速度之比為$\frac{2h}{{t}^{2}}$：g，故質(zhì)量之比為：
$\frac{M′}{M}=\frac{\frac{g{′R′}^{2}}{G}}{\frac{g{R}^{2}}{G}}=\frac{p}{q}×（\frac{\frac{2h}{{t}^{2}}}{g}）^{2}$=$\frac{{4p{h^2}}}{{q{g^2}{t^4}}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度為$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）要使物體沿水平方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（3）該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為$\frac{{4p{h^2}}}{{q{g^2}{t^4}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理解第一宇宙速度，知道重力等于萬有引力，掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，并能讀懂題給予的信息，不難．