Question

19．如圖甲所示，ABCD為固定在水平面內的閉合軌道，其中AB、CD段均為半徑R=1.6m的半圓軌道，BC、AD段為直軌道，AD=BC=5m．AD段粗糙，動摩擦因數μ=0.2，其余各段均光滑．有一質量為0.2kg可視為質點的小物體卡在軌道上，沿著軌道運動，其截面圖如圖乙所示．小物體經過DA段時會受到一個方向豎直向上，大小隨深度如圖丙規(guī)律變化的F₁作用；小物體經過BC段時會受到一個方向沿軌道向右，大小恒為0.4N的F₂作用．現使小物體在D點以v₀=4m/s的初速度向左運動，發(fā)現小物體恰好能勻速運動到A點．（g取10m/s²）求：
（1）小物體第一次經過圓弧AB段的向心加速度大小；
（2）小物體第一次運動到C點時速度大��；
（3）若要小物體每次經過D點的速度都相同，則在D至少要獲得多大的初速度．

Answer 1

分析 （1）小物體在AB段做圓周運動，已知線速度和半徑，由公式a=$\frac{{v}^{2}}{R}$求向心加速度大�。�
（2）由動能定理可求得第一次到達D點的速度或由牛頓第二定律和速度位移公式結合求解．
（3）對物體的運動過程進行分析，根據牛頓第二定律和運動學公式可求得D點的最小初速度．

解答 解：（1）小物體第一次經過圓弧AB段的向心加速度大小 a₁=$\frac{{v}^{2}}{R}$            
解得 a₁=10m/s²
（2）物體在BC段運動的加速度 a₂=$\frac{{F}_{2}}{m}$=2m/s²
由v_C²-v_B²=2a₂x_BC得
  v_C=6m/s          
（3）當物體速度大小為4m/s時，物體做勻速運動，則F₁=mg=2N       
由題意可知：D到A減速，B到C加速，若要小物體每次經過D點的速度都相同，則兩段加速度大小相等．
即a₃=a₁=2m/s²
由牛頓第二定律得 μ（F₁-mg）=ma₃   
得 F₁=4N
由圖可得：F₁=4N時，v=8m/s
當物體速度大于等于8m/s后，F₁保持不變．則要實現小物體每次經過D點的速度都相同，在A點速度至少要達到8m/s．                    
  v_D²-v_A²=2a₃x_DA    
解得 v_D=2$\sqrt{21}$m/s
物體在D點獲得速度至少要達到2$\sqrt{21}$m/s    
答：
（1）小物體第一次經過圓弧AB段的向心加速度大小是10m/s²；
（2）小物體第一次運動到C點時速度大小是6m/s；
（3）若要小物體每次經過D點的速度都相同，則在D至少要獲得2$\sqrt{21}$m/s的初速度．

點評 本題是牛頓第二定律和運動學公式的綜合運用，關鍵理清物體的運動過程，選擇合適的規(guī)律進行求解．也可以運用動能定理研究．