Question

7．如圖，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向下，水平面上O處固定一電荷量為Q（Q＞0）的小球a，另一個(gè)電荷量為q（q＞0）、質(zhì)量為m的小球b在其上方某個(gè)水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O′．a(chǎn)、b間的距離為R．為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值及小球b相應(yīng)的速率（靜電力常量為k）．

Answer 1

分析 球b在水平面上做的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需要正確地對(duì)其進(jìn)行受力分析并結(jié)合向心力的公式，求出相應(yīng)的結(jié)果．

解答 解：據(jù)題意，小球P在水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，該圓周的圓心為O′．P受到向下的重力mg、a對(duì)它沿ab方向的庫(kù)侖力N和磁場(chǎng)的洛侖茲力：f=qvB…①
式中v為小球運(yùn)動(dòng)的速率．洛侖茲力f的方向指向O′．
根據(jù)牛頓第二定律：$\frac{kQq}{{R}^{2}}$cosα-mg=0…②
f-$\frac{kQq}{{R}^{2}}$sinα=m$\frac{{v}^{2}}{Rsinα}$…③
由①②③式得：v²-$\frac{qBRsinα}{m}$v+$\frac{gRsi{n}^{2}α}{cosα}$=0…④
由于v是實(shí)數(shù)，必須滿足：△=（$\frac{qBRsinα}{m}$）²-$\frac{4gRsi{n}^{2}α}{cosα}$≥0…⑤
由此得：B≥$\frac{2m}{q}\sqrt{\frac{g}{Rcosα}}$…⑥
可見(jiàn)，為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值為：B_min=$\frac{2m}{q}\sqrt{\frac{g}{Rcosα}}$ …⑦
此時(shí)，帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為：v=$\frac{q{B}_{min}Rsinα}{2m}$…⑧
由⑦⑧式得：v=$\sqrt{\frac{gR}{cosα}}$sinα
答：磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值$\frac{2m}{q}\sqrt{\frac{g}{Rcosα}}$，小球P相應(yīng)的速率$\sqrt{\frac{gR}{cosα}}$sinα．

點(diǎn)評(píng) 考查牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握確定向心力的來(lái)源是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意正確地進(jìn)行受力分析是重點(diǎn)，及結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用．