Question

9．如圖所示，區(qū)域Ⅰ內(nèi)有一長(zhǎng)AC=d的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁場(chǎng)方向與區(qū)域Ⅲ內(nèi)的磁場(chǎng)方向相同，均垂直紙面向外，且磁感應(yīng)強(qiáng)度是區(qū)域Ⅲ內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的3倍，區(qū)域Ⅱ?qū)挒閐，其內(nèi)存在與水平方向成60°角斜向左下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，區(qū)域Ⅲ寬為$\sqrt{3}$d．一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶正電粒子從A點(diǎn)以初速度v₀與邊界成θ=30°角垂直磁場(chǎng)方向射入矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并從C點(diǎn)射出而進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)中，最后粒子恰好垂直區(qū)域Ⅲ的右邊界從D點(diǎn)（未畫出）射出，粒子重力不計(jì)，求：
（1）區(qū)域Ⅲ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（3）粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的速度，然后應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（3）分別求出粒子在三個(gè)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，從C點(diǎn)射出時(shí)一定與邊界AC成30°角，
即平行電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，區(qū)域Ⅰ中，由幾何知識(shí)得：r₁=d，
由牛頓第二定律得：B₁qv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$，解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，
所以區(qū)域Ⅲ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=$\frac{m{v}_{0}}{3qd}$．
（2）區(qū)域Ⅲ中，由幾何知識(shí)得：sin 60°=$\frac{\sqrt{3}d}{{r}_{2}}$，即：r₂=2d，
由牛頓第二定律得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：r₂=$\frac{mv}{Bq}$，v=$\frac{2{v}_{0}}{3}$，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：v²-v₀²=-2$\frac{qE}{m}$•$\fracyyiiouu{cos60°}$，
解得：E=$\frac{5m{v}_{0}^{2}}{36qd}$．
（3）粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁=$\frac{60°}{360°}$•$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{πd}{3{v}_{0}}$，
粒子在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂=$\frac{\fracikiy0g0{cos60°}}{\frac{v+{v}_{0}}{2}}$=$\frac{12d}{5{v}_{0}}$，
粒子在區(qū)域Ⅲ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃=$\frac{60°}{360°}$•$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{πd}{{v}_{0}}$，
所以粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（20π+36）d}{15{v}_{0}}$．
答：（1）區(qū)域Ⅲ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{m{v}_{0}}{3qd}$；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為=$\frac{5m{v}_{0}^{2}}{36qd}$；
（3）粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{（20π+36）d}{15{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)與電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)場(chǎng)公式可以解題．