Question

15．如圖1所示，在x0y坐標(biāo)系中，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，緊靠極板的右邊緣的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域由△AB0和矩形0BCD構(gòu)成，其中∠0AB=60°，0D=OA．磁場(chǎng)方向垂直于x0y平面向里，D、A位于y軸上．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右接連發(fā)射質(zhì)量為m，、電荷量為+q、速度相同的帶電粒子，現(xiàn)在0～3t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖2所示的電壓，已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的粒子，在t₀時(shí)刻射入磁場(chǎng)時(shí)，恰好不會(huì)從磁場(chǎng)邊界射出磁場(chǎng)區(qū)域且圓心在x軸上，上述l、m、q、t₀為已知量，U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{{t}_{0}}^{2}}$，不考慮P、Q兩板電壓的變化對(duì)磁場(chǎng)的影響，也不考慮粒子的重力及粒子間的相互影響，求：
（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及磁場(chǎng)區(qū)域的面積；
（3）t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子t₀時(shí)刻剛好射出電場(chǎng)，做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式求解即可；
（2）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的粒子恰好在t0時(shí)刻射入磁場(chǎng)、且恰好不會(huì)從邊界HG、FG射出磁場(chǎng)區(qū)域；畫出臨界軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系求解出半徑；最后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解出勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）t₀時(shí)刻進(jìn)入極板的帶電粒子在兩個(gè)極板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在2t₀時(shí)刻沿著x方向進(jìn)入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}T$和T=$\frac{2πm}{Bq}$求解時(shí)間．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子t₀時(shí)刻剛好射出電場(chǎng)
帶電粒子沿著x軸分速度大小為：v₀=$\frac{l}{{t}_{0}}$，
y軸負(fù)方向偏移距離：y=$\frac{1}{2}•\frac{q{U}_{0}}{ml}•{{t}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}l$
粒子離開電場(chǎng)沿y軸負(fù)方向分速度為v_y，則有：$\frac{1}{2}l=\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{0}$
射入磁場(chǎng)的速度大小$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，與y軸夾角為45°；
（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，由幾何關(guān)系得：
${R}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}l$，
則OA=$\frac{{R}_{1}}{tan30°}=\frac{\sqrt{6}l}{2}$，OB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}l$，
$Bq{v}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：$B=\frac{2m}{q{t}_{0}}$，
磁場(chǎng)的面積S=$（\frac{1}{2}+1）×\frac{\sqrt{6}l}{2}×\frac{3\sqrt{2}l}{2}=\frac{9\sqrt{3}{l}^{2}}{4}$
（3）t₀時(shí)刻進(jìn)入極板的帶電粒子在兩個(gè)極板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在2t₀時(shí)刻沿著x方向進(jìn)入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R₂；
${R}_{2}=\frac{l}{2}$，
$T=\frac{2π{R}_{2}}{{v}_{0}}=π{t}_{0}$，
設(shè)AD=a，則有：
$2{R}_{1}+\frac{l}{2}=asin60°$，$a=\frac{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}t$，
因?yàn)椋?\frac{a}{2}-{R}_{2}$）sin60°＞R₂，粒子不會(huì)從PG邊射出磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t=$\frac{T}{2}=\frac{π{t}_{0}}{2}$
答：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，與y軸夾角為45°；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{2m}{q{t}_{0}}$，磁場(chǎng)區(qū)域的面積為$\frac{9\sqrt{3}{l}^{2}}{4}$；
（3）t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{π{t}_{0}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分類似平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程列式求解，磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)注意畫出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解半徑