Question

某興趣小組設(shè)計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題，其模型如題25圖所示不用完全相同的輕繩將N個大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1、2、3……N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k（k＜1.將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞……所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰.（不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10 m/s²）

（1）設(shè)與n+1號球碰撞前，n號球的速度為v_n,求n+1號球碰撞后的速度.

（2）若N＝5,在1號球向左拉高h的情況下，要使5號球碰撞后升高16k（16 h小于繩長）問k值為多少？

（3）在第（2）問的條件下，懸掛哪個球的繩最容易斷，為什么？

Answer 1

（1）v_n-1=

（2）k=

（3）懸掛1號球的繩最容易斷.

解析:

（1）設(shè)n號球質(zhì)量為m,n+1，碰撞后的速度分別為取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為v_n、0、m_n+1

根據(jù)動量守恒，有                  （1）

根據(jù)機(jī)械能守恒，有=          （2）  

由（1）、（2）得

設(shè)n+1號球與n+2號球碰前的速度為E_n+1

據(jù)題意有v_n-1=

得v_n-1==                                       （3）

（2）設(shè)1號球擺至最低點時的速度為v₁,由機(jī)械能守恒定律有

                                         （4）

v₁=                                              （5）

同理可求，5號球碰后瞬間的速度

                                        （6）

由（3）式得                        （7）

N=n=5時，v₅=                         （8）

由（5）、（6）、（8）三式得

k=                          （9）

（3）設(shè)繩長為l,每個球在最低點時，細(xì)繩對球的拉力為F,由牛頓第二定律有

                                            （10）

則            （11）

（11）式中E_kn為n號球在最低點的動能

由題意1號球的重力最大，又由機(jī)械能守恒可知1號球在最低點碰前的動能也最大，根據(jù)（11）式可判斷在1號球碰前瞬間懸掛1號球細(xì)繩的張力最大，故懸掛1號球的繩最容易斷.