Question

5．某工廠車間通過圖示裝置把貸物運送到二樓倉庫，AB為水平傳送帶．CD為傾角θ=37°、長s=3m的傾斜軌道，AB與CD通過長度忽略不計的圓弧軌道平滑連接，DE為半徑r=0.4m的光滑圓弧軌道，CD與DE在D點相切，OE為豎直半徑，FG為二樓倉庫地面（足夠長且與E點在同一高度），所有軌道在同一豎直平面內，當傳送帶以恒定速率v=10m/s運行時，把一質量m=50kg的貨物（可視為質點）由靜止放入傳送帶的A端，貸物恰好能滑入二樓倉庫．已知貨物與傳送帶、傾斜軌道及二樓倉庫地面間的動摩擦因數均為μ=0.2，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）貨物在二樓倉庫地面滑行的距離；
（2）傳送帶把貨物從A端運送到B端過程中因摩擦而產生的內能．

Answer 1

分析 （1）貨物剛好到達E點，則在E點，由重力提供向心力，根據向心力公式求出E點的速度，再由功能關系即可求出貨物在二樓倉庫地面滑行的距離；
（2）貨物從B到達E的過程中重力和摩擦力做功，由動能定理求出貨物到達B的速度；由牛頓第二定律求出貨物在傳送帶上的加速度，計算出貨物的速度達到10m/s的位移，與傳送帶的長度比較，然后計算出貨物相對于傳送帶的位移，最后由功能關系即可求出產生的內能．

解答 解：（1）由題意，貸物恰好能滑入二樓倉庫則在圓軌道的最高點E，恰好由重力提供向心力，得：
mg=$\frac{m{v}_{E}^{2}}{r}$
所以：v_E=$\sqrt{gr}=\sqrt{10×0.4}=2$m/s
貨物到達倉庫后在運動的過程中只有摩擦力做功，由動能定理得：
-μmgs=0-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
代入數據得：s=1m
（2）貨物從B到達E的過程中重力和摩擦力做功，由動能定理得：
-mgs•sin37°-μmgs•cos37°-mgr（1+cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數據得：v_B=8m/s
貨物在傳送帶上加速時，沿水平方向的摩擦力提供加速度，由牛頓第二定律得：
ma=μmg
所以：a=μg=0.2×10=2m/s²
貨物從開始運動到速度等于8m/s的過程中的位移為x，則：
$2ax={v}_{B}^{2}$
代入數據得：x=16m
該過程中的時間：t=$\frac{{v}_{B}}{a}=\frac{8}{2}=4$s
該過程中傳送帶的位移：x′=vt=10×4=40m
貨物相對于傳送帶的位移：△x=x′-x=40-16=24m
所以傳送帶把貨物從A端運送到B端過程中因摩擦而產生的內能：Q=μmg•△x=0.2×50×10×24=2400J
答：（1）貨物在二樓倉庫地面滑行的距離是1m；
（2）傳送帶把貨物從A端運送到B端過程中因摩擦而產生的內能是2400J．

點評 本題主要考查了動能定理及向心力公式的直接應用，知道小滑塊剛好到達M點，則在M點，由重力提供向心力，注意幾何關系在解題時的應用，難度適中．