Question

8．如圖甲所示是游樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車的實(shí)物圖片，可將過(guò)山車的一部分運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為圖乙的模型圖，此模型中所有軌道都是光滑的．現(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從左側(cè)軌道距B點(diǎn)高h(yuǎn)=0.25m處（圖中未標(biāo)出）由靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)為圓軌道的最低點(diǎn)，小車進(jìn)入圓軌道后，恰好能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)A處．不計(jì)空氣阻力，小車的質(zhì)量m=1.0kg，g取10m/s²．求：

（1）小車通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（2）圓軌道的半徑R的大小；
（3）小車通過(guò)到圓軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小F_B．

Answer 1

分析 （1）小車下滑的過(guò)程，由動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒求出小車B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）小車恰好能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，軌道對(duì)小車的彈力為零，由重力提供小車圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小車在A點(diǎn)的速度．從B到A的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，可求得軌道半徑R．
（3）在B點(diǎn)，通過(guò)支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力，再由牛頓第三定律得到壓力．

解答 解：（1）小車下滑的過(guò)程，由動(dòng)能定理得
   mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
可得 v_B=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.25}$=$\sqrt{5}$m/s
（2）由于小車恰能通過(guò)A點(diǎn)，由重力提供小車圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{gR}$
從B到A的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ 
聯(lián)立解得 R=0.1m
（3）設(shè)軌道在最低點(diǎn)對(duì)小車的支持力大小為F_B′，由牛頓第二定律有
   F_B′-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 F_B′=60N
由牛頓第二定律可知，小車對(duì)軌道的壓力 F_B=F_B′=60N
答：
（1）小車通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B是$\sqrt{5}$m/s．
（2）圓軌道的半徑R的大小是0.1m；
（3）小車通過(guò)到圓軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小F_B是60N．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律、動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵是理清小車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行研究．