Question

如圖所示，水平放置的光滑金屬框abcd單位長度電阻為r，bc=L，ab=cd=2L．長度為L的導(dǎo)體桿MN放在金屬框上，并以勻速v從最左端向右平動．導(dǎo)體桿MN單位長度電阻值為2r．整個(gè)空間充滿勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直紙面（abcd平面）向里．求：
（1）當(dāng)導(dǎo)體桿MN的位移s1=

L

2

時(shí)，MN兩端的電壓多大？
（2）在上述位置外力F的大小是多少？
（3）當(dāng)導(dǎo)體桿MN的位移s₂為多大時(shí)金屬框上消耗的電功率最大？最大功率為多少？

Answer 1

（1）導(dǎo)體棒MN運(yùn)動時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為ε=BLv①
導(dǎo)體棒MN的電阻為r_MN=2Lr②
當(dāng)導(dǎo)體桿MN的位移s1=

L

2

時(shí)，導(dǎo)體桿右側(cè)金屬框的電阻為



R=4Lr③
此時(shí)MN兩端的電壓為UMN=

R

R+rMN

ε=

2

3

BLv④
（2）在上述位置時(shí)感應(yīng)電流大小為I=

ε

R+rMN

=

BLv

6Lr

=

Bv

6r

⑤
安培力大小FA=BIL=

B2Lv

6r

⑥
由于導(dǎo)體桿做勻速運(yùn)動，外力F等于安培力，即F=FA=

B2Lv

6r

⑦
（3）金屬框上消耗的電功率為P=(

ε

R+rMN

)2R=

B2L2v2R

R2+4RLr+4L2r2

=

B2L2v2

R+4Lr+ 4L2r2 R

⑧
當(dāng)R=

4L2r2

R

，即R=2Lr時(shí)，P最大．
此時(shí)有R=（5L-S₂）r=2Lr⑨
可得s2=

3

2

L
此時(shí)最大功率為Pm=

B2L2v2

8Lr

=

B2Lv2

8r

．
答：（1）當(dāng)導(dǎo)體桿MN的位移s1=

L

2

時(shí)，MN兩端的電壓為

2

3

BLv．
（2）在上述位置外力F的大小是

B2Lv

6r

．
（3）當(dāng)導(dǎo)體桿MN的位移為

3

2

L時(shí)金屬框上消耗的電功率最大，最大功率為

B2Lv2

8r

．