Question

9．如圖所示，兩足夠長的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為d，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角α=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面向上．長為d的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右側(cè)電路，燈泡的電阻R_L=3R，電阻箱電阻調(diào)到R′=6R，重力加速度為g．現(xiàn)閉合開關(guān)S，給金屬棒施加一個(gè)方向垂直于桿且平行于導(dǎo)軌平面向上的、大小為F=mg的恒力，使金屬棒由靜止開始運(yùn)動(dòng)．
①求金屬棒能達(dá)到的最大速度；
②若金屬棒上滑距離為L時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開始上滑4L的過程中，金屬棒上產(chǎn)生的電熱；
③若改變R′的阻值，當(dāng)R′為何值時(shí)，在金屬棒達(dá)到最大速度后，R′消耗的功率最大？消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析 ①當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和安培力公式可求出電路中的電流，由感應(yīng)電動(dòng)勢公式E=BLv和歐姆定律結(jié)合求解最大速度；
②根據(jù)能量守恒定律和焦耳定律求解金屬棒上產(chǎn)生的電熱；
③根據(jù)電功率的計(jì)算公式推導(dǎo)R′消耗的功率與R′的關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解R′的取值，再求出R′消耗的最大功率．

解答 解：①當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：F=BId+mgsin30°，
燈泡和電阻箱并聯(lián)的電阻為R_并=$\frac{{R}_{L}R′}{{R}_{L}+R′}=\frac{3R×6R}{3R+6R}=2R$，
回路總電阻R_總=R+R_并=3R；
又F=mg，BId=$\frac{{B}^{2}e2uzj7m^{2}{v}_{m}}{3R}$，
解得v_m=$\frac{3mgR}{2{B}^{2}fummjih^{2}}$；
②設(shè)整個(gè)過程中電路產(chǎn)生的電熱為Q，根據(jù)能量守恒定律可得：
F•4L=Q+mgsinα•4L+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$，
根據(jù)能量分配關(guān)系可得：$\frac{R}{{R}_{總}}=\frac{1}{3}$，
所以Q_并=$\frac{1}{3}Q$=$\frac{2}{3}mgL-\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}24vm7xw^{4}}$；
③R′上消耗的電功率為P′=I′²R′，
燈泡和電阻箱并聯(lián)的電阻為R′_并=$\frac{{R}_{L}R′}{{R}_{L}+R′}=\frac{3RR′}{3R+R′}$，
又由于I′R′=IR_并，
而根據(jù)平衡條件可得F=BId+mgsin30°，解得I=$\frac{mg}{2Bd}$，
所以I′=$\frac{3R}{3R+R′}$I=$\frac{3mgR}{2（3R+R′）Bd}$，
聯(lián)立解得P′=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{4{B}^{2}hqc7j7g^{2}}•\frac{9{R}^{2}R′}{（3R+R′）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{4{B}^{2}oosytv8^{2}}•\frac{9{R}^{2}}{\frac{9{R}^{2}}{R′}+6R+R′}$，
由數(shù)學(xué)知識(shí)可得，當(dāng)$\frac{9{R}^{2}}{R′}=R′$時(shí)，即R′=3R時(shí)消耗的功率最大，
最大功率P′_m=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}earut2p^{2}}$．
答：①金屬棒能達(dá)到的最大速度為$\frac{3mgR}{2{B}^{2}29dnxml^{2}}$；
②若金屬棒上滑距離為L時(shí)速度恰達(dá)到最大，則金屬棒由靜止開始上滑4L的過程中，金屬棒上產(chǎn)生的電熱為$\frac{2}{3}mgL-\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}qmpk8on^{4}}$；
③若改變R′的阻值，當(dāng)R′=3R時(shí)，在金屬棒達(dá)到最大速度后，R′消耗的功率最大，消耗的最大功率為$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}dzlgou7^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．