Question

兩根光滑平行的電阻不計(jì)的金屬導(dǎo)軌MN和PQ相距L，豎直放置在垂直導(dǎo)軌平面向外、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)軌上端接有由阻值為R₁的電阻、電容器以及阻值為R₂的電阻組成的電路，如圖所示．一根質(zhì)量為m、電阻為r的水平金屬棒ab由靜止開始釋放，下滑過程中ab與MN和PQ保持良好接觸，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．求：
（1）ab棒開始運(yùn)動(dòng)后電阻R₁的電流方向
（2）ab棒的最大加速度．
（3）ab棒的最大速度
（4）試討論：若R₂、r分別增大，各對(duì)電容器電量的最大值會(huì)有何影響．

Answer 1

分析：（1）ab棒向下做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，由右手定則判斷棒中感應(yīng)電流方向，即可知道電阻R₁的電流方向；
（2）分析ab棒的受力情況，確定出運(yùn)動(dòng)情況，判斷什么條件下棒的加速度最大．a(chǎn)b棒向下運(yùn)動(dòng)過程中，要產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到向上的安培力，由牛頓第二定律分析得知，剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度最大，并求出最大加速度；
（3）分析棒的受力情況來分析其運(yùn)動(dòng)情況：棒從靜止開始作加速運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流、安培力逐漸增大，當(dāng)棒受到的安培力與重力大小相等時(shí)，棒的合力為零，加速度為零，速度達(dá)到最大，之后作勻速運(yùn)動(dòng)．由F=BIL、I=

E

R

、E=BLv推導(dǎo)棒所受的安培力表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求出棒的最大速度．
（4）棒下落過程中，電容器不斷充電，當(dāng)棒的速度達(dá)到最大值后，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不再增加，電容器的電量最大．根據(jù)串聯(lián)電路知識(shí)求得電容器的最大電壓，Q=CU得到最大電量表達(dá)式，分析電量的最大值與R₂、r關(guān)系．

解答：解：
（l）ab棒開始運(yùn)動(dòng)后，根據(jù)右手定則判斷得知，棒ab中產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向：b→a，則電阻R₁的電流方向由M到P．
（2）當(dāng)ab棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的速度為零，感應(yīng)電流為零，安培力為零，棒所受的合力等于重力，所以棒的加速度最大，等于g．
（3）棒從靜止開始作加速運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流、安培力逐漸增大，當(dāng)棒受到的安培力與重力大小相等時(shí)，棒的合力為零，加速度為零，速度達(dá)到最大，之后作勻速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v、安培力為F、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E、電流為I、回路總電阻為R．
   由F=BIL、I=

E

R

、E=BLv、R=R₁+r得，安培力的表達(dá)式為F=

B2L2v

R1+r

棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有F=mg，
聯(lián)立解得v=

mg(R1+r)

B2L2

（4）當(dāng)棒的速度達(dá)到最大值后，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不再增加，電容器的電量最大．
電容器的電壓最大值為 U_R1=

R1

R1+r

E=

BLvR1

R1+r

將v=

mg(R1+r)

B2L2

代入解得

mgR1

BL

設(shè)電容器的電容為C，最大電量Q=CU_R1=

mgCR1

BL

從上式可見，R₂和 r的大小對(duì)電容器最大電量沒有影響．
答：
（1）ab棒開始運(yùn)動(dòng)后電阻R₁的電流方向?yàn)橛蒑到P．
（2）ab棒的最大加速度為g．
（3）ab棒的最大速度為

mg(R1+r)

B2L2

．
（4）若R₂、r分別增大，對(duì)電容器電量的最大值都沒有影響．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要會(huì)推導(dǎo)安培力表達(dá)式，通過分析棒的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況．對(duì)于第4問中，當(dāng)棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電容電量充至最大后R₂電流為零，R₂增大對(duì)C的最大電量無影響．