Question

7．如圖所示，傾角θ=37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個輪半徑和質量不計的光滑定滑輪D，質量均為m=1kg 的物體A和B用一勁度系數k=240N/m 的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋�。�用一不可伸長的輕繩使物體A跨過定滑輪與質量為M的小環(huán)C連接，小環(huán)C穿過豎直固定的光滑均勻細桿，當整個系統(tǒng)靜止時，環(huán)C位于Q處，繩與細桿的夾角α=53°，且物體B對擋板P的壓力恰好為零．圖中SD水平且長度 為d=0.2m，位置R與位置Q關于位置S對稱，輕彈簧和定滑輪右側的繩均與斜面平行．現讓環(huán)C從位置R由靜止釋放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）小環(huán)C的質量M；
（2）小環(huán)C通過位置S時的動能 Ek及環(huán)從位置R運動到位置S的過程中輕繩對環(huán)做的功W_T；
（3）小環(huán)C運動到位置Q的速率v．

Answer 1

分析 （1）該題中，共有ABC三個物體與彈簧組成一個系統(tǒng)，受力的物體比較多，可以先以AB組成的整體為研究對象，求出繩子的拉力，然后以C為研究對象進行受力分析，即可求出C的質量；
（2）由幾何關系求出繩子RD段的長度，再以B為研究對象，求出彈簧的伸長量，以及后來的壓縮量，最后根據機械能守恒定律求出C的速度、動能；由動能定理求出輕繩對環(huán)做的功W_T；
（3）由機械能守恒定律即可求出C的速度．

解答 解：（1）先以AB組成的整體為研究對象，AB系統(tǒng)受到重力．支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C為研究對象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖，則：
T•cos53°=Mg
代入數據得：M=0.72kg
（2）由題意，開始時B恰好對擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長狀態(tài)；
產生B沿斜面方向的受力：F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
彈簧的伸長量：△x₁=mgsinθ/K=0.025m
當小環(huán) C 通過位置 S 時A下降的距離為x_A=$\fracmy1f2hu{sinα}-d$=0.05m
此時彈簧的壓縮量△x₂=x_A-△x₁=0.025m
由速度分解可知此時A的速度為零，所以小環(huán)C從R運動到S的過程中，初末態(tài)的彈性勢能相等，
對于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機械能守恒有：Mgdcotα+mgx_Asinθ=E_k
代入數據解得：E_k=1.38J
環(huán)從位置 R 運動到位置 S 的過程中，由動能定理可知：W_T+Mgdcotα=E_k
代入數據解得：W_T=0.3J
（3）環(huán)從位置 R 運動到位置 Q 的過程中，對于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機械能守恒
系統(tǒng)機械能守恒：Mg．（2dcotα）=$\frac{1}{2}M{v^2}+\frac{1}{2}m{v_A}^2$    
速度分解：v_A=vcosα
兩式聯立代入數據可得：v=2m/s．
答：（1）小環(huán)C的質量為0.72kg；
（2）小環(huán)C通過位置S時的動能為1.38J；環(huán)從位置R運動到位置S的過程中輕繩對環(huán)做的功為0.3J；
（3）小環(huán)C運動到位置Q的速率為2m/s．

點評 該題中，第一問相對比較簡單，解答的關鍵是第二問，在解答的過程中一定要先得出彈簧的彈性勢能沒有變化的結論，否則解答的過程不能算是完整的．