Question

如圖所示，電子顯像管由電子槍、加速電場(chǎng)、偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)及熒光屏組成．在加速電場(chǎng)右側(cè)有相距為d、長(zhǎng)為l的兩平板，兩平板構(gòu)成的矩形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的右邊界與熒光屏之間的距離也為d．熒光屏中點(diǎn)O與加速電極上兩小孔S₁、S₂位于兩板的中線(xiàn)上．從電子槍發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為-e的電子，經(jīng)電壓為U₀的加速電場(chǎng)后從小孔S₂射出，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，最后打到熒光屏上．若l=

3

2

d，不計(jì)電子在進(jìn)入加速電場(chǎng)前的速度．
（1）求電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小；
（2）求電子到達(dá)熒光屏的位置與O點(diǎn)距離的最大值y_m和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）若撤去磁場(chǎng)，在原磁場(chǎng)區(qū)域加上間距仍為d的上、下極板構(gòu)成的偏轉(zhuǎn)電極，加速電極右側(cè)與偏轉(zhuǎn)電極緊靠．為了使電子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后到達(dá)熒光屏上的位置與經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的最大值相同．在保持O與S₂距離不變，允許改變板長(zhǎng)的前提下，求所加偏轉(zhuǎn)電壓的最小值．

Answer 1

分析：（1）電子經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度可以通過(guò)動(dòng)能定理求得；
（2）電子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到熒光屏，電子偏轉(zhuǎn)的臨界狀態(tài)是恰好不撞在上板的右端，到達(dá)熒光屏的位置與O點(diǎn)距離即為最大值，磁感應(yīng)強(qiáng)度可以通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式和幾何關(guān)系求得；
（3）電子在電場(chǎng)中做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)外做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．對(duì)恰好能通過(guò)板右端點(diǎn)的電子在熒光屏上的位置離O點(diǎn)最大，且為最大值的情況，可通過(guò)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度位移公式及幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）設(shè)電子經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度大小為v₀，由動(dòng)能定理得
  eU0=

1

2

mv02                                     
  v0=

2eU0 m

                                         
（2）電子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到熒光屏，電子偏轉(zhuǎn)的臨界狀態(tài)是恰好不撞在上板的右端，到達(dá)熒光屏的位置與O點(diǎn)距離即為最大值y_m，如圖所示，有
  ev0B=

mv02

R

                     
   (R-

d

2

)2+l2=R2                             
  tanα=

l

R- d 2

=tanθ=

ym- d 2

d

                                    
注意到 l=

3d

2

，v0=

2eU0 m

，聯(lián)立上式可得
  R=

5d

2

 ym=

5d

4

                                                           
 B=

2mv0

5ed

=

2

5d

2mU0 e

                                                
（3）電子在電場(chǎng)中做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)外做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．對(duì)恰好能通過(guò)板右端點(diǎn)的電子在熒光屏上的位置離O點(diǎn)最大，且為y_m的情況．設(shè)極板長(zhǎng)度為l?，有
      tanθ=

vy

vx

=

ym- d 2

l+d-l′

            ⑧
其中
    vx=vy=

2eU0 m

                                                   ⑨
    v_y=at                                                            ⑩
其中
    a=

F

m

=

eU

md

                                                                                               
    vy2=2a

d

2

=ad                                                 
 解得     l′=

10d

7

                                                       
若增大l?，則無(wú)論加多大電壓，電子在熒光屏上的偏移不能達(dá)到y(tǒng)_m，當(dāng)減小l?，
若保持電壓U不變，則電子在熒光屏上的偏移也不能達(dá)到y(tǒng)_m，只有增大電壓才有可能實(shí)現(xiàn)．
因此，要使電子在熒光屏上的偏移達(dá)到y(tǒng)_m對(duì)應(yīng)電壓的最小值為：
   Umin=

2U0d2

l′2

   Umin=

49U0

50

=0.98U0
答：（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為

2eU0 m

；（2）電子到達(dá)熒光屏的位置與O點(diǎn)距離的最大值y_m為

5d

4

，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

2

5d

2mU0 e

；（3）所加偏轉(zhuǎn)電壓的最小值為0.98U₀．

點(diǎn)評(píng)：該題涉及到帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)同學(xué)們的分析能力和數(shù)學(xué)功底要求較高，難度很大，屬于難題．