Question

（2011?浙江模擬）如圖所示的平行板器件中，存在相互垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.40T，方向垂直紙面向里，電場(chǎng)強(qiáng)度E=2.0×10⁵V/m，PQ為板間中線．緊靠平行板右側(cè)邊緣xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，有垂直紙面的正三角形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.25T．一束帶電量q=8.0×10^-19C，質(zhì)量m=8.0×10^-26 kg的正離子從P點(diǎn)射入平行板間，不計(jì)重力，沿中線PQ做直線運(yùn)動(dòng)，穿出平行板后從y軸上坐標(biāo)為（0，0.2m）的Q點(diǎn)垂直y軸射向三角形磁場(chǎng)區(qū)，離子通過(guò)x軸時(shí)的速度方向與x軸正方向夾角為60°．則：
（1）離子運(yùn)動(dòng)的速度為多大？
（2）試討論正三角形區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里和垂直紙面向外兩種情況下，正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小邊長(zhǎng)分別為多少？并求出其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）離子沿直線穿過(guò)相互垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，由平衡條件求解速度v．
（2）由題，離子穿出磁場(chǎng)通過(guò)x軸時(shí)的速度方向與x軸正方向夾角為60°則當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)，速度偏向角為60°，則軌跡圓心角為60°，作出面積最小的正三角形磁場(chǎng)區(qū)域，由幾何知識(shí)最小邊長(zhǎng)．當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里時(shí)，離子轉(zhuǎn)過(guò)300°時(shí)，穿出磁場(chǎng)，軌跡為

5

6

圓弧，作出面積最小的正三角形磁場(chǎng)區(qū)域，由幾何知識(shí)最小邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）由于離子直線穿過(guò)平行板器件，B₁qv=Eq
      可得 v=

E

B1

=5×10⁵ m/s
    （2）根據(jù)B₂ qv=m

v2

r

      可知離子在磁場(chǎng)B₂中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=

mv

qB2

=0.2m
      若磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的方向垂直紙面向外，
          根據(jù)幾何關(guān)系（如圖），正三角形的區(qū)域的最小邊長(zhǎng)a=r=0.2m
          此時(shí)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

πm

3qB2

=

4π

3

×10-7s=4.2×10-7s
     若磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的方向垂直紙面向里，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，正三角形最小邊長(zhǎng)a=r+

4 3

3

r=0.66m 
          此時(shí)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

5πm

3qB2

=

20π

3

×10-7s=2.1×10-6s
答：（1）離子運(yùn)動(dòng)的速度為5×10⁵ m/s．
    （2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的方向垂直紙面向外，正三角形的區(qū)域的最小邊長(zhǎng)a=0.2m，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4.2×10^-7s．
         若磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的方向垂直紙面向里，正三角形最小邊長(zhǎng)為0.66m，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2.1×10^-6s．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用幾何知識(shí)作粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的能力．本題還用到粒子速度偏向角等于軌跡的圓心角這個(gè)結(jié)論．