Question

如圖甲所示，光滑絕緣水平桌面上直立一個(gè)單匝正方形導(dǎo)線框ABCD，線框的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.4m、總電阻為R=0.1Ω．在直角坐標(biāo)系xoy中，有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界與x軸重合，上邊界滿足曲線方程y=0.2sin

10π

3

x（m），場(chǎng)強(qiáng)大小B=0.2T．線框在沿x軸正方向的拉力F作用下，以速度v=10m/s水平向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，恰好拉出磁場(chǎng)．

（1）求線框中AD兩端的最大電壓；
（2）在圖乙中畫出運(yùn)動(dòng)過程中線框i-t圖象，并估算磁場(chǎng)區(qū)域的面積；
（3）求線框在穿越整個(gè)磁場(chǎng)的過程中，拉力F所做的功．

Answer 1

分析：（1）線框中BC或AD切割磁感線時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=Byv，則知當(dāng)AD邊運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)中心時(shí)，AD邊上的電壓最大．由E=BLv、I=

E

R

、U=IR結(jié)合求解AD兩端的最大電壓；
（2）由t=

x

v

求出BC邊切割磁場(chǎng)的時(shí)間，確定出沒有電流的時(shí)間，畫出i-t圖象．i-t圖象與坐標(biāo)軸所圍“面積”大小等于電量，估算出電量Q，根據(jù)電量Q=

△Φ

R

=

BS

R

求出磁場(chǎng)區(qū)域的面積．
（3）在t₁和t₃時(shí)間內(nèi)，通過線框的電流按正弦規(guī)律變化，求出電流的有效值．拉力做功等于線框中產(chǎn)生的電能，根據(jù)焦耳定律和功能關(guān)系求解拉力F所做的功．

解答：解：（1）當(dāng)導(dǎo)線框運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)中心線時(shí)，有兩種情況，一是BC邊，二是AD邊，當(dāng)AD邊運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)中心時(shí)，AD邊上的電壓最大．

  E_m=By_mv=0.2×0.2×10V=0.4V
  I_m=

Em

R

=

0.4

0.1

A=4A
則線框中AD兩端的最大電壓是U_m=Im?

3

4

R=4×

3

4

×0.1V=0.3V
（2）BC邊切割磁場(chǎng)的時(shí)間為t1=

0.3

10

s=0.03s
此后，經(jīng)t₂時(shí)間，線框中無感應(yīng)電流
   t2=

0.4-0.3

10

s=0.01s
AD邊切割時(shí)間t₃=t₁=0.03s
在整個(gè)切割過程中，i-t圖象如圖所示．

由圖象可知，每個(gè)小方格表示電量q=0.0005C
在圖象中，圖象與t軸所圍區(qū)域共有小方格153個(gè)，故t₁時(shí)間內(nèi)通過線框某一截面的電量 Q=Nq=153×0.0005C=0.0765C
又Q=

△Φ

R

=

BS

R

得S=

QR

B

=0.038m²
（3）在t₁和t₃時(shí)間內(nèi)，通過線框的電流按正弦規(guī)律變化
電流的有效值為 I=

2

2

Im=

2

2

×4A=2

2

A
由于線框做勻速運(yùn)動(dòng)，則根據(jù)功能關(guān)系得
   W=I²R（t₁+t₃）=0.048J
答：（1）求線框中AD兩端的最大電壓是0.3V；
（2）在圖乙中畫出運(yùn)動(dòng)過程中線框i-t圖象如圖所示，磁場(chǎng)區(qū)域的面積是0.038m²；
（3）線框在穿越整個(gè)磁場(chǎng)的過程中，拉力F所做的功是0.048J．

點(diǎn)評(píng)：本題是產(chǎn)生正弦式交變電流的一種方式，是法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、焦耳定律等等知識(shí)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是運(yùn)用近似方法估算出i-t圖象的面積，求出電量，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式Q=

△Φ

R

，求出面積S．