Question

15．如圖所示，足夠長的水平導體框架的寬度為L，電阻可忽略不計，左端接一阻值為R的定值電阻．磁感應強度為B的勻強磁場方向垂直于導體框平面向上，一根質量為m、有效電阻為r的導體棒MN垂直跨放在框架上，該導體棒與框架間的動摩擦因數為μ，導體棒在水平力的作用下由靜止開始沿框架以加速度a做勻加速直線運動，求：
（1）從靜止開始經時間t內通過電阻R的電荷量q；
（2）寫出水平力F關于時間t的表達式；
（3）如果從靜止開始經時間t在電阻R上產生的焦耳熱為Q，則該過程中外力做功為多少？

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律、電量公式q=It及運動學位移時間公式結合，可求得電荷量q．
（2）推導出安培力與時間t的關系式，再由牛頓第二定律得到F與t的表達式．
（3）外力做功等于回路產生的焦耳熱、摩擦生熱和棒獲得的動能之和，根據功能關系求解．

解答 解：（1）時間t內通過電阻R的電荷量為：q=$\overline{I}$t
電流的平均值為：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
感應電動勢平均值為：$\overline{E}$=BL$\overline{v}$
聯立得：q=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$
根據運動學公式有：$\overline{v}$t=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
所以有：q=$\frac{BLa{t}^{2}}{2（R+r）}$
（2）t時刻導體棒的速度為：v=at
產生的感應電動勢為：E=BLv
感應電流為：I=$\frac{E}{R+r}$
金屬棒所受的安培力大小為：F_安=BIL
聯立以上四式得：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$
根據牛頓第二定律得：F-μmg-F_安=ma
則得：F=μmg+ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$
（3）f時間內棒通過的距離為：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
在電阻r上產生的焦耳熱為$\frac{r}{R}$Q，
根據功能關系可得，外力做功為：
W=μmgx+Q+$\frac{r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}μmga{t}^{2}$+$\frac{R+r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m（at）^{2}$
答：（1）從靜止開始經時間t內通過電阻R的電荷量q是$\frac{BLa{t}^{2}}{2（R+r）}$；
（2）水平力F關于時間t的表達式是F=μmg+ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$；
（3）如果從靜止開始經時間t在電阻R上產生的焦耳熱為Q，則該過程中外力做功為$\frac{1}{2}μmga{t}^{2}$+$\frac{R+r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m（at）^{2}$．

點評 本題是電磁感應中的力學問題，電磁感應與力聯系橋梁是安培力，這類問題的關鍵在于安培力的分析和計算．