Question

6．如圖所示，長為L=1m的AB斜面傾角為θ=37°，將一勁度系數(shù)為k=60N/m的輕質(zhì)彈簧的上端固定在AB上端的固定板上，彈簧的原長為x₀=0.2m，平行于斜面的細(xì)線穿過固定板和彈簧跨過定滑輪將小滑塊和鐵球連接，小滑塊與彈簧接觸但不相連，不計(jì)繩子與固定板及滑輪間的摩擦，小滑塊質(zhì)量為m=1kg，鐵球質(zhì)量為M=1.2kg，滑塊與AB軌道的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{3}{8}$（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），斜面底端與一段半徑為R=0.5m的光滑圓弧BCD在B點(diǎn)相切連接，圓弧的D點(diǎn)切線銜接另一個光滑斜面（足夠長），（g=10m/s²，sin37°=0.6）．則：
（1）初始時刻能使滑塊保持靜止，求彈簧壓縮量x的范圍；
（2）若初始時刻彈簧壓縮時的彈性勢能EP=0.075J，且初始時刻滑塊剛好不上滑，斷開滑塊與繩子的連接，求以后的運(yùn)動過程中滑塊與斜面因摩擦而生成的熱量Q．
（3）在第二問中滑塊經(jīng)過C點(diǎn)時求小滑塊對C點(diǎn)壓力的最小值？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)滑塊剛要上滑時，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，方向向下，受力平衡，根據(jù)平衡條件列式，當(dāng)滑塊剛要下滑時，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，方向向上，根據(jù)平衡條件列式，進(jìn)而求出范圍；
（2）滑塊釋放后在兩斜面及圓弧間往復(fù)運(yùn)動，因摩擦生熱消耗能量，每次上升到AB面的高度逐漸降低，最終在BD間往復(fù)運(yùn)動，而到B點(diǎn)時速度為零，根據(jù)能量守恒求解；
（3）對C點(diǎn)產(chǎn)生最小壓力時為經(jīng)過C點(diǎn)時速度最小的時候，根據(jù)動能定理以及向心力公式列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）當(dāng)滑塊剛要上滑時，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，受力平衡，則有：
T=Kx₁+μmg•cosθ+mg•sinθ，
T=Mg，
解得：x₁=0.05m
當(dāng)滑塊剛要下滑時：T+μmg•cosθ=Kx₂+mg•sinθ，
T=Mg，
解得：x₂=0.15m
要使滑塊靜止彈簧的壓縮量的范圍是0.05m≤x≤0.15m，
（2）初始時刻彈簧壓縮時的彈性勢能E_P=0.075 J，滑塊釋放后在兩斜面及圓弧間往復(fù)運(yùn)動，因摩擦生熱消耗能量，每次上升到AB面的高度逐漸降低，最終在BD間往復(fù)運(yùn)動，而到B點(diǎn)時速度為零，因滑塊剛好不上滑時：T=Kx₁+μmg•cosθ+mg•sinθ，T=Mg，所以x₁=0.05mE_P+mg（L-x₀+x₁）sinθ=Q，所以Q=5.175J
（3）根據(jù)能量守恒：對C點(diǎn)產(chǎn)生最小壓力時為經(jīng)過C點(diǎn)時速度最小的時候，即最終滑塊在BD間往復(fù)運(yùn)動經(jīng)過C點(diǎn)時．設(shè)滑塊在C點(diǎn)收到的支持力為N，$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v_c}^2$
$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：N=14N
根據(jù)牛頓第三定律：C點(diǎn)收到的壓力為14N
答：（1）初始時刻能使滑塊保持靜止，彈簧壓縮量x的范圍為0.05m≤x≤0.15m；
（2）以后的運(yùn)動過程中滑塊與斜面因摩擦而生成的熱量Q為5.175J．
（3）在第二問中滑塊經(jīng)過C點(diǎn)時求小滑塊對C點(diǎn)壓力的最小值為14N．

點(diǎn)評 本題是復(fù)雜的力學(xué)問題，對于圓周運(yùn)動，分析向心力的來源是關(guān)鍵，對于小球運(yùn)動過程之中，要抓住能量守恒，要具有解決綜合問題的能力，需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)．