Question

9．如圖甲所示，直角坐標系中直線AB與橫軸x夾角∠BAO=45°，AO長為a．假設在點A處有一粒子源可沿∠BAO所夾范圍內(nèi)的各個方向放射出質(zhì)量為m、速度大小均為v、帶電量為q的電子，電子重力忽略不計．在三角形ABO內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場（圖中未畫出），當電子從頂點A沿AB方向射入磁場時，電子恰好從O點射出試求：

（1）從頂點A沿AB方向射入的電子在磁場中的運動時間t；
（2）磁場大小方向保持不變，改變勻強磁場分布區(qū)域，使磁場存在于三角形ABO內(nèi)的左側(cè)，要使得電子從A點出發(fā)馬上進入磁場且穿過有界磁場后都垂直y軸后向右運動，試求勻強磁場區(qū)域分布的最小面積；
（3）磁場大小方向保持不變，現(xiàn)改變勻強磁場分布區(qū)域，使磁場存在于y軸與虛線之間，示意圖見圖乙所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過y軸后向右運動，試確定勻強磁場左側(cè)邊界虛線的曲線方程（不需要寫范圍）．

Answer 1

分析 （1）粒子做圓周運動，根據(jù)粒子在磁場中運動的半徑公式和周期公式可以求得粒子的運動的時間；
（2）以AB方向發(fā)射的電子在磁場中的運動軌跡與AO中垂線交點的左側(cè)圓弧，有界磁場的上邊界：以A點正上方、距A點的距離為a的點為圓心，以a為半徑的圓�。�
（3）根據(jù)所有的電子最后都垂直穿過y軸后向右運動，做出電子的運動的軌跡，根據(jù)幾何關系可以求得左側(cè)邊界虛線的曲線方程．

解答 解：（1）根據(jù)題意，電子在磁場中的運動的軌道半徑為：R=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$  
由qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$及T=$\frac{2πm}{qB}$
得：t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{\sqrt{2}πa}{4v}$ 
（2）電子在磁場中的運動的軌道半徑R=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$ 有界磁場的上邊界：以AB方向發(fā)射的電子在磁場中的運動軌跡與AO中垂線交點的左側(cè)圓弧，圓弧所在圓的方程為：
（x+$\frac{a}{2}$）²+（y+$\frac{a}{2}$）²=R²   
有界磁場的下邊界：設初速度與x軸夾角為θ的電子出磁場位置的坐標為 （x，y），則有：
x=-（a-Rsinθ），y=R-Rcosθ，
消去θ得：（x+a）²+（y-R）²=R²   
故最小磁場區(qū)域面積為上述兩個圓相交部分，如圖所示
所求面積為 S=2（$\frac{π{R}^{2}}{8}$-R²sin$\frac{45°}{2}$cos$\frac{45°}{2}$）=$\frac{（π-3）{a}^{2}}{6}$     
（3）設在坐標（x，y）的點進入磁場，如右圖所示，由相似三角形得：
$\frac{y+b}{-x}=\frac{a-（-x）}{y}$   
圓的方程為：x²+（y+b）²=R²   
消去（y+b），代入R，得磁場邊界的方程為：
y=-$\frac{\sqrt{2}x（a+x）}{\sqrt{a2-2x2}}$ 
答：（1）從頂點A沿AB方向射入的電子在磁場中的運動時間是$\frac{\sqrt{2}πa}{4v}$；
（2）勻強磁場區(qū)域分布的最小面積是$\frac{（π-3）{a}^{2}}{6}$；
（3）勻強磁場左側(cè)邊界虛線的曲線方程是y=-$\frac{\sqrt{2}x（a+x）}{\sqrt{a2-2x2}}$．

點評 本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．