Question

（2013?蕪湖模擬）如圖所示，光滑水平面上有A、B兩輛小車，A車內(nèi)有一半徑R=1m的光滑圓軌道，質(zhì)量m_C=0.5kg可視為質(zhì)點的小球C置于圓軌道最底端．已知m_A=m_B=1.0kg，開始時，B車靜止，A車和C球以v₀=10m/s的速度駛向B車并與其正碰后粘在一起（碰撞時間極短），不計空氣阻力．求：
（1）小球C沿軌道上升到最高點時的速度．
（2）小球C沿軌道上升的最大高度．
（3）若小車B的質(zhì)量為無窮大，小車A與之碰后粘在一起，圓軌道半徑R可以調(diào)節(jié)，要使得碰后小球C能一直不脫離圓軌道，求R的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）A與B碰撞過程，AB組成的系統(tǒng)動量守恒；AB碰撞后，C在圓軌道上滑行過程，三者組成的系統(tǒng)，水平方向不受外力，系統(tǒng)水平方向的動量守恒，C沿軌道上升到最高點時三者的速度相同，根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒列式求解；
（2）先根據(jù)A與B車相碰的動量守恒，列式求出碰后AB的共同速度．再根據(jù)碰后C在圓軌道上滑行過程，系統(tǒng)的機械能守恒列式，求解C沿軌道上升的最大高度．
（3）若小車B的質(zhì)量為無窮大，A車速度立即減為0，小球C做圓周運動，若恰好不脫離圓軌道，在最高點時，由重力提供向心力；或上升的高度恰為圓心高度，根據(jù)向心力公式和機械能守恒定律列式求解．

解答：解：（1）對于整個過程，三個物體組成的系統(tǒng)，水平方向不受外力，水平方向系統(tǒng)的動量守恒，設小球C沿軌道上升到最高點時三個物體的共同速度為v₂．取向左為正方向．則有：
  （m_A+m_C）v₀=（m_A+m_B+m_C）v₂
解得：v₂=

(mA+mC)v0

mA+mB+mC

=6m/s
（2）A與B車相碰過程，AB的動量守恒，則得：m_Av₀=（m_A+m_B）v₁
解得：v₁=5m/s
C在圓軌道上滑行過程，由三個物體組成的系統(tǒng)機械能守恒得：

1

2

m_Cv

2 0

+

1

2

(mA+mB)

v

2 1

=

1

2

（m_A+m_B+m_C）

v

2 2

+m_Cgh
解得：h=1m
（3）小車A與B車相碰后，A車速度立即減為0，小球C做圓周運動，若不脫離圓軌道，則
①上升的高度恰為圓心高度，由機械能守恒：m_CgR=

1

2

mC

v

2 0

解得：R=

v 2 0

2g

=5m；
②碰后小球恰能做完整圓周運動時，在最高點由重力提供向心力，則得：
  在最高點：m_Cg=m_C

v 2 1

R

，得：v₁=

gR

由機械能守恒：m_Cg2R+

1

2

mC

v

2 1

=

1

2

mC

v

2 0

解得：R=2m
結(jié)合①②得：R≤2m或者R≥5m．
答：（1）小球C沿軌道上升到最高點時的速度為6m/s．
（2）小球C沿軌道上升的最大高度為1m．
（3）R的取值范圍為R≤2m或者R≥5m．

點評：本題綜合考查了機械能守恒定律、動量守恒定律，綜合性較強，關鍵要分過程，分段分析和列式．對學生的能力要求較高，需加強這方面的訓練．