Question

20．如圖所示，兩個(gè)水平放置的帶電平行金屬板間，一長(zhǎng)為l的絕緣細(xì)線(xiàn)一端固定在O點(diǎn)，另一端栓這一個(gè)質(zhì)量為m、帶有一定電量的小球，小球原來(lái)靜止，當(dāng)給小球某一沖量后，它可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若兩板間電壓增大為原來(lái)的4倍，求：
（1）要是小球從C點(diǎn)開(kāi)始在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始至少要給小球多大沖量？
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線(xiàn)所受的最大拉力．

Answer 1

分析 （1）小球原來(lái)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有mg=qE；當(dāng)電壓增大到電壓增大到原來(lái)的4倍，兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)镋′=4E，在C點(diǎn)必須給C足夠的速度，讓其能在電場(chǎng)力和重力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)繩的拉力為0時(shí)，小球圓周運(yùn)動(dòng)的速度最小，由此可求C點(diǎn)的初速度；再由動(dòng)量定理求沖量．
（2）由C到D小球做加速運(yùn)動(dòng)，速度一直增大，在D點(diǎn)速度最大，此時(shí)繩的拉力最大，由動(dòng)能定理可得D點(diǎn)的速度，進(jìn)而可得繩的最大拉力．

解答 解：（1）小球開(kāi)始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故有：mg=qE，
當(dāng)電壓增大到原來(lái)的4倍，故兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)椋篍′=4E，
在C點(diǎn)繩的拉力為0時(shí)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度最小：
 qE′-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{l}$，
解得：v_C=$\sqrt{3gl}$
根據(jù)動(dòng)量定理得：I=mv_C=m$\sqrt{3gl}$．
（2）由C到D，依據(jù)動(dòng)能定理可得：
 qE′•2l-mg•2l=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_D=$\sqrt{15gl}$
小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)繩所受的最大拉力在D位置，此時(shí)繩的拉力和重力提供向心力，由牛頓第二定律可得：
  T+mg-qE′=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{l}$
解得：T=18mg．
答：
（1）要是小球從C點(diǎn)開(kāi)始在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始至少要給小球m$\sqrt{3gl}$的沖量．
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線(xiàn)所受的最大拉力是18mg．

點(diǎn)評(píng) 該題不同于一般的繩桿模型問(wèn)題，這里涉及的不是小球能不能到最高點(diǎn)的問(wèn)題，而是小球一開(kāi)始能不能做圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，電場(chǎng)變化后，若不給小球初速度，小球就會(huì)做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．