Question

(16分)一輕質(zhì)細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m＝0.05kg的小球A，另一端掛在O點(diǎn)，O到小球的距離為L＝0.1m，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個(gè)光滑的斜面和一個(gè)擋板，如圖所示，水平距離s＝2m．現(xiàn)有一滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上滑下，與小球發(fā)生碰撞，每次碰后，滑塊與小球速度均互換，已知滑塊與擋板碰撞時(shí)不損失機(jī)械能，水平面與滑塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.25，若不計(jì)空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²．試問：

⑴若滑塊B從斜面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求此高度h；
⑵若滑塊B從h′＝5m處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)．

Answer 1

⑴h＝0.5m；⑵n＝10

試題分析：⑴小球恰能完成一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)它到最高點(diǎn)的速度為v₀，在最高點(diǎn)由重力mg提供小球運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式有：mg＝
在小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，并設(shè)小球此時(shí)在最低點(diǎn)速度為v₁，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：－＝2mgL
根據(jù)題意可知，滑塊滑至與小球碰撞前瞬間的速度也為v₁，在滑塊由h高度處運(yùn)動(dòng)至與小球相碰前瞬間的過程中根據(jù)動(dòng)能定理有：mgh－μmg＝－0
聯(lián)立以上各式，并代入數(shù)據(jù)解得：h＝0.5m
滑塊與小球碰撞后將靜止不動(dòng)，隨后小球運(yùn)動(dòng)一周后又與滑塊相撞，滑塊獲得前一次碰前的速度向右運(yùn)動(dòng)，與擋板碰后又無能量損失地返回與小球發(fā)生第三次碰撞，…，設(shè)滑塊最后以速度v_n碰撞小球后，剛好能使其完成第n次完整圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理有：mgh′－μmg(n－1＋)s＝－0
根據(jù)上述分析可知：v_n＝v₁
聯(lián)立以上各式解得：n＝10