Question

19．如圖所示，ABCD為豎立放在場強為E=10⁴ V/m的水平勻強電場中的絕緣光滑軌道，其中軌道的BCD部分是半徑為R=0.2m的半圓環(huán)，軌道的水平部分與半圓環(huán)相切，A為水平軌道上的一點，而且AB=3R=0.6m．把一質量m=0.1kg、帶電量q=10^-4C的小球，放在水平軌道的A點，由靜止開始釋放后在軌道的內側運動．（g取10m/s²）求：
（1）小球到達C點時，軌道對小球的作用力大�。�
（2）試判斷小球能否通過D點（寫出相應的計算過程）；
（3）在半圓形軌道運動的過程中，小球的最大速度．

Answer 1

分析 （1）可以應用動能定理直接求出速度；然后應用牛頓第二定律可求軌道對小球的作用力大�。�
（2）若小球恰好到達D點，則在D點小球受到的重力提供向心力，由此求出小球在D點的最小速度，與題目中到達B點的速度比較，然后判斷即可；
（3）首先找到動能最大的位置即所謂“等效最低點”的方法，即小球能夠平衡的位置，然后結合動能定理即可求解．

解答 解：（1）設小球在C點的速度大小是V_c，則對于小球由A→C的過程中，應用動能定律得：
qE.4R-mgR=$\frac{1}{2}{mv}_{c}^{2}-0$，
代入數據解得：${v}_{C}=\sqrt{\frac{8qER-2mgR}{m}}=\sqrt{\frac{8×1{0}^{-4}×1{0}^{4}×0.2-2×0.1×10×0.2}{0.1}}=2\sqrt{3}$m/s
小球在C點時受到重力、支持力和電場力，沿水平方向的支持力與電場力的合力提供向心力，得：
${N}_{c}^{\;}-qE=\frac{{mv}_{c}^{2}}{R}$，
代入數據解得：${N}_{c}^{\;}$=7N
（2）若小球恰好到達D點，則在D點小球受到的重力提供向心力，得：
$\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}=mg$
所以：${v}_{D}=\sqrt{2}$m/s
小球從C到D的過程中：
$-mgR-qER=\frac{1}{2}mv{′}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數據得：v_D′=2m/s＞v_D
所以小球能到達D點．
（3）由題：mg=qE=1N，可知小球受到合力的方向垂直于B、C點的連線BC指向圓心O，所以“等效最低點”在BC的中點E，E點與圓心O的連線與水平方向之間的夾角是45°．
設小球的最大動能為：${E}_{km}^{\;}$=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$，
由動能定理可得：$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=qER（3+sin45°）+mgR（1-cos45°）
代入數據解得：v_m=4m/s
故小球所能獲得的最大速度為4m/s．
答：（1）小球到達C點時，軌道對小球的作用力大小是$2\sqrt{3}$N；
（2）小球能通過D點；
（3）在半圓形軌道運動的過程中，小球的最大速度是4m/s．

點評 對與圓周運動結合的題目，一般要用到動能定理、牛頓第二定律以及速度最大或最小的臨界條件，應記住在復合場中速度最大即等效“最低點”是物體能夠平衡的位置，速度最小（等效最高點）位置則是最低點關于圓心的對稱點．