Question

在某平面上有一半徑為R的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)外均有垂直于該平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓外磁場(chǎng)范圍足夠大，已知兩部分磁場(chǎng)方向相反且磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B，方向如圖所示．現(xiàn)在圓形區(qū)域的邊界上的A點(diǎn)有一個(gè)帶電量為+q，質(zhì)量為m的帶電粒子以垂直于磁場(chǎng)方向且沿半徑向圓外的速度從該圓形邊界射出，已知該粒子只受到磁場(chǎng)對(duì)它的作用力．

（1）若粒子從A點(diǎn)射出后，第二次經(jīng)過磁場(chǎng)邊界時(shí)恰好經(jīng)過C點(diǎn)（AC是圓形區(qū)域的直徑），求粒子的運(yùn)動(dòng)半徑

（2）若粒子在其與圓心O的連線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，恰好能回到A點(diǎn)，試求該粒子運(yùn)動(dòng)速度v的可能值．

（3）在粒子恰能回到A點(diǎn)的情況下，求該粒子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間．

Answer 1

解：（1）根據(jù)軌跡圖可得：粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r=R       (4分)

（2）粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r

   得                  ① （2分）

如圖，O₁為粒子運(yùn)動(dòng)的第一段圓弧AB的圓心，O­₂為粒子運(yùn)動(dòng)的第二段圓弧BC的圓心，根據(jù)幾何關(guān)系可知：

                ②            （2分）

如果粒子回到A點(diǎn)，則必有

2   n取正整數(shù)     ③           （1分）

由①②③可得

                         （1分）

考慮到為銳角，即，根據(jù)③可得

                                  

故          （2分）

 （3）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期

                               （2分）

因?yàn)榱Ｗ用看卧趫A形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間互補(bǔ)為一個(gè)周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數(shù)越少，所花時(shí)間就越短，因此取n=3

代入到③可得

                                  （2分）

粒子在圓形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為a

故所求的粒子回到A點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間

                    （2分）