Question

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy中，在y＞0的區(qū)域存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E．在-h＜y＜0的區(qū)域I中存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．在y＜-h的區(qū)域Ⅱ中存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B．且是y軸上的一點(diǎn)，C是x軸上的一點(diǎn)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子以某一初速度．沿x軸正方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)以速度方向與x軸夾角為φ=30°進(jìn)入磁場區(qū)域I，并以垂直邊界y=-h的速度進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅱ，粒子重力不計(jì)．試求：
（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小a；
（2）A、C兩點(diǎn)與O點(diǎn)間的距離y₀、x₀；
（3）粒子從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過多長時(shí)間可回到y(tǒng)=y₀處？

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動，由幾何知識知，軌跡對應(yīng)的圓心角為60°，根據(jù)幾何關(guān)系求得軌跡半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求速度大�。�
（2）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，運(yùn)用運(yùn)動的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合可求得A、C兩點(diǎn)與O點(diǎn)間的距離y₀、x₀；
（3）分段求時(shí)間，磁場中找出軌跡對應(yīng)的圓心角θ，由t=

θ

2π

T求粒子第一次返回y=y₀處前運(yùn)動的總時(shí)間T，根據(jù)周期性，粒子返回y=y₀處前運(yùn)動的總時(shí)間為t=nT．

解答：解：（1）由題可知，粒子在磁場Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動的圓心角θ=60°，相應(yīng)的半徑為
   r₁=

h

sin60°

=

2 3

3

h
由qvB=m

v2

r1

，得v=

2 3 qBh

3m

（2）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，有
  x₀=vcos30°?t₀
  y₀=

1

2

?

qE

m

t

2 0

又vsin30°=

qE

m

t0
解得，t₀=

3 Bh

3E

，x₀=

3 B2h2q

3mE

，y₀=

B2h2q

6mE

（3）根據(jù)運(yùn)動的對稱性可知，第一次返回y=y₀處前在磁場Ⅰ中運(yùn)動的總時(shí)間為t₁=

2π

3

?

m

qB

在磁場Ⅱ中運(yùn)動的總時(shí)間為t₂=

π

2

?

m

qB

故第一次返回y=y₀處前運(yùn)動的總時(shí)間為T=2t₀+t₁+t₂=

2 3 Bh

3E

+

7πm

6qB

之后運(yùn)動呈周期性，故返回y=y₀處前運(yùn)動的總時(shí)間為t=nT=n（2t₀+t₁+t₂=

2 3 Bh

3E

+

7πm

6qB

），n=1，2，3，…
答：
（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為

2 3 qBh

3m

；
（2）A、C兩點(diǎn)與O點(diǎn)間的距離x₀、y₀分別為

3 B2h2q

3mE

和y₀=

B2h2q

6mE

．
（3）粒子從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過n（2t₀+t₁+t₂=

2 3 Bh

3E

+

7πm

6qB

），n=1，2，3，…時(shí)間可回到y(tǒng)=y₀處．

點(diǎn)評：本題考查帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動，注意在磁場中的運(yùn)動要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場中注意由類平拋運(yùn)動的規(guī)律求解．