Question

16．已知物體從地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v₂=$\sqrt{\frac{2Gm}{R}}$，其中G、m、R分別是引力常量、地球的質(zhì)量和半徑．已知G=6.67×10^-11N•m²/kg²，c=2.9979×10⁸ m/s．求下列問題：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫作黑洞，設(shè)某黑洞的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量m=1.98×10³⁰ kg，求它的可能最大半徑；
（2）在目前天文觀測范圍內(nèi)，物質(zhì)的平均密度為10^-27 kg/m³，如果認(rèn)為我們的宇宙是這樣一個(gè)均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？

Answer 1

分析 （1）任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速，根據(jù)c≤$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ 即可求解；
（2）根據(jù)質(zhì)量與密度的關(guān)系先求出質(zhì)量，根據(jù)（1）的分析即可求解．

解答 解：（1）由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對應(yīng)的逃逸速度v₂=$\sqrt{\frac{2Gm}{R}}$，
其中m、R為天體的質(zhì)量和半徑．對于黑洞模型來說，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v₂＞c，
則R＜$\frac{2Gm}{c^2}$=$\frac{{2×6.67×{{10}^{-11}}×1.98×{{10}^{30}}}}{{{{（2.9979×{{10}^8}）}^2}}}$m=2.94×10³ m，
即質(zhì)量為1.98×10³⁰ kg的黑洞的最大半徑為2.94×10³ m．
（2）把宇宙視為普通天體，則其質(zhì)量m=ρ•V=ρ•$\frac{4}{3}$πR^3------①
其中R 為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，則宇宙的逃逸速度為v₂=$\sqrt{\frac{2Gm}{R}}$------②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v₂＞c-------③
則由以上三式可得
R＞$\sqrt{\frac{{3{c^2}}}{8πρG}}$=4.01×10²⁶ m，合4.24×10¹⁰光年．
即宇宙的半徑至少為4.24×10¹⁰光年；
答：（1）它的可能最大半徑為2.94×10³ m．
（2）宇宙的半徑至少應(yīng)為4.24×10¹⁰光年．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力定律定律及圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的直接應(yīng)用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速．