Question

某球形天體的密度為ρ₀，引力常量為G.

(1)證明對環(huán)繞密度相同的球形天體表面運行的衛(wèi)星，運動周期與天體的大小無關(guān)．(球的體積公式為V＝πR³，其中R為球半徑)．

(2)若球形天體的半徑為R，自轉(zhuǎn)的角速度為ω₀＝，表面周圍空間充滿厚度d＝(小于同步衛(wèi)星距天體表面的高度)、密度ρ＝的均勻介質(zhì)，試求同步衛(wèi)星距天體表面的高度．

Answer 1

答案　見解析

解析　(1)設(shè)環(huán)繞其表面運行的衛(wèi)星的質(zhì)量為m，運動周期為T，球形天體半徑為R，天體質(zhì)量為M，由牛頓第二定律有G＝m()²R                                                      ①

而M＝ρ₀·πR³                                                                                                                                                                                                                 ②

由①②式解得T＝ ，可見T與R無關(guān)，為一常量．

(2)設(shè)該天體的同步衛(wèi)星距天體中心的距離為r，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀，則有G＝m₀ωr                                                                                               ③

而M′＝ρ·π[(R＋d)³－R³]                                                                                     ④

由②③④式解得r＝2R

則該天體的同步衛(wèi)星距表面的高度h＝r－R＝R