Question

一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕繩一端懸桂在固定點(diǎn)O，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，若在懸點(diǎn)O的正下方，距O點(diǎn)為OC=4L/5的C點(diǎn)處釘一小釘．現(xiàn)將小球拉至細(xì)繩繃直在水平位置時(shí)，由靜止釋放小球，如圖所示．假設(shè)細(xì)繩始終不會(huì)被拉斷，求：
（1）細(xì)繩碰到釘子前、后的瞬間，細(xì)繩對(duì)小球的拉力各多大．
（2）要使細(xì)繩碰釘子后小球能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則釋放小球時(shí)繃直的細(xì)繩與豎直方向的夾角至少為多大．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)于小球下擺過(guò)程，細(xì)繩的拉力不做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出細(xì)繩碰到釘子前瞬間的速度大小，再根據(jù)牛頓第二定律求解細(xì)繩的拉力；細(xì)繩碰到釘子前后線(xiàn)速度大小不變．
（2）若小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力為零，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出小球到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度，再由機(jī)械能守恒列式求解釋放小球時(shí)繃直的細(xì)繩與豎直方向的夾角．
解答：解：（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速度為v₁．
對(duì)于小球下擺過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：mgL=
設(shè)細(xì)繩碰到釘子前、后瞬間對(duì)球的拉力分別為T(mén)₁和T₂，則根據(jù)牛頓第二定律有：
   T₁-mg=m
   T₂-mg=m
解得 T₁=3mg，T₂=11mg
（2）若小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)，繩的拉力為零，重力提供向心力．設(shè)球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，
由根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)小球在最高點(diǎn)有：
 mg=m
設(shè)小球開(kāi)始下擺時(shí)細(xì)繩與豎直方向的最小夾角為θ，則對(duì)于小球從開(kāi)始下擺至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律有：
  mg?+L（1-cosθ）
解得θ=60°
答：
（1）細(xì)繩碰到釘子前、后的瞬間，細(xì)繩對(duì)小球的拉力各3mg和11mg．
（2）要使細(xì)繩碰釘子后小球能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，釋放小球時(shí)繃直的細(xì)繩與豎直方向的夾角至少60°．
點(diǎn)評(píng)：本題整合了機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律和臨界條件，是常見(jiàn)的問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住細(xì)繩碰到釘子前后速度大小和小球到達(dá)最高點(diǎn)的臨界條件．