Question

17．如圖所示，質(zhì)量m=0.10kg的靶盒B位于光滑水平導(dǎo)軌上，開(kāi)始時(shí)靜止在O點(diǎn)，在O點(diǎn)右側(cè)有范圍很廣的“相互作用區(qū)域”，如圖中的虛線(xiàn)區(qū)域．當(dāng)靶盒B進(jìn)入相互作用區(qū)域時(shí)便有向左的水平恒力F=50N作用．在P處有一固定的手槍A，它可根據(jù)需要瞄準(zhǔn)靶盒每次發(fā)射一顆水平速度V₀=100m/s、質(zhì)量同樣為m=0.10kg的子彈，當(dāng)子彈打入靶盒B后，便留在盒內(nèi)，碰撞時(shí)間極短．若每當(dāng)靶盒B停在或到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，就有一顆子彈進(jìn)入靶盒B內(nèi)，求：
（1）當(dāng)?shù)谝活w子彈進(jìn)入靶盒B后，靶盒B離開(kāi)O點(diǎn)的最大距離；
（2）求第三顆子彈進(jìn)入靶盒B到第四顆子彈進(jìn)入靶盒B的時(shí)間間隔；
（3）從初始時(shí)刻到第n顆子彈恰好與靶盒相對(duì)靜止時(shí)，子彈與靶盒組成的系統(tǒng)所產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？（不考慮手槍發(fā)射子彈時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)能的影響）

Answer 1

分析 （1）第一顆子彈進(jìn)入靶盒A后，根據(jù)碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒列出等式，再運(yùn)用動(dòng)能定理求解
（2）根據(jù)題意，A在的恒力F的作用返回O點(diǎn)時(shí)第二顆子彈正好打入，由于A的動(dòng)量與第二顆子彈動(dòng)量大小相同，方向相反，故第二顆子彈打入后，A將靜止在O點(diǎn)．
由系統(tǒng)動(dòng)量守恒和動(dòng)能定理求解．
（3）運(yùn)用歸納法得到第（2k-1）顆子彈打入后靶盒的運(yùn)動(dòng)速度，由能量守恒定律求出系統(tǒng)產(chǎn)生的熱能表達(dá)式，再用同樣的方法得到第2k顆子彈打入后系統(tǒng)產(chǎn)生的熱能．

解答 解：（1）設(shè)第一課子彈進(jìn)入靶盒B后，子彈與靶盒的共同速度為v₁．取向右為正方向
由動(dòng)量守恒定律有：mv₀=（m+m）v₁
設(shè)B離開(kāi)O點(diǎn)的最大距離為s₁，由動(dòng)能定理得
-Fs₁=0-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
解得：s₁=5m   
（2）根據(jù)題意，B在恒力F的作用下返回O點(diǎn)時(shí)第二顆子彈正好打入，由于靶盒與第二顆子彈的動(dòng)量之和為零，故第二顆子彈打入時(shí)，B將靜止在O點(diǎn)．
第三顆子彈打入后，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得
  mv₀=（3m+m）v₃
B離開(kāi)O點(diǎn)再回到O點(diǎn)，取碰后A運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量定理得
-Ft₃=0-2（3m+m）v₃
解得 t₃=0.4s
（3）由第（2）問(wèn)的計(jì)算可以看出，第（2k-1）顆子彈打入后，
靶盒的運(yùn)動(dòng)速度  mv₀=[（2k-1）m+m）]v_2k-1
系統(tǒng)產(chǎn)生的熱能 Q_2k-1=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$[（2k-1）m+m）]v_2k-1²=（1-$\frac{1}{2k}$）•$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
第2k顆子彈打入后，靶盒靜止不動(dòng)，
系統(tǒng)動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能  Q_2k=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$[（2k-1）m+m）]v_2k-1²=（1+$\frac{1}{2k}$）•$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
 
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) Q_總=Q₁+Q₂+…+Q_n=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$（n-$\frac{1}{n+1}$）=500（n-$\frac{1}{n+1}$）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) Q_總=Q₁+Q₂+…+Q_n=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$•n=500n
答：
（1）當(dāng)?shù)谝活w子彈進(jìn)入靶盒B后，靶盒B離開(kāi)O點(diǎn)的最大距離是5m；
（2）求第三顆子彈進(jìn)入靶盒B到第四顆子彈進(jìn)入靶盒B的時(shí)間間隔是0.4s；
（3）彈與靶盒組成的系統(tǒng)所產(chǎn)生的內(nèi)能為500（n-$\frac{1}{n+1}$）或500n．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于碰撞過(guò)程，其基本規(guī)律動(dòng)量守恒定律要掌握牢固，并能正確運(yùn)用．能把動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理結(jié)合應(yīng)用．