Question

15．用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示．

①測(cè)出懸點(diǎn)O到小球球心的距離（擺長(zhǎng)）L及單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$（用L、n、t表示）
②用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做出T²-L圖象，也可以求出重力加速度g，已知三位同學(xué)做出的T²-L圖線的示意圖如圖2中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過(guò)原點(diǎn)，圖線b對(duì)應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓�加速度的值．則相對(duì)于圖線b，下列分析正確的是B（選填選項(xiàng)前的字母）．
A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長(zhǎng)L
B．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動(dòng)記為50次
C．圖線c對(duì)應(yīng)的g值小于圖線b對(duì)應(yīng)的g值
③某同學(xué)在家里測(cè)重力加速度．他找到細(xì)線和鐵鎖，制成一個(gè)單擺，如圖3所示，由于家里只有一根量程為30cm的刻度尺，于是他在細(xì)線上的A點(diǎn)做了一個(gè)標(biāo)記，使得懸點(diǎn)O到A點(diǎn)間的細(xì)線長(zhǎng)度小于刻度尺量程．保持該標(biāo)記以下的細(xì)線長(zhǎng)度不變，通過(guò)改變O、A間細(xì)線長(zhǎng)度以改變擺長(zhǎng)．實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)O、A間細(xì)線的長(zhǎng)度分別為l₁和l₂時(shí)，測(cè)得相應(yīng)單擺的周期為T₁、T₂．由此可得重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$（用l₁、l₂、T₁、T₂表示）．

Answer 1

分析 （1）單擺測(cè)定重力加速度的原理是：?jiǎn)螖[的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$；應(yīng)用單擺軸公式可以求出重力加速度；
（2）寫(xiě)出單擺周期，根據(jù)單擺的周期公式變形得出T²與L的關(guān)系式，再分析T²-L圖象中g(shù)與斜率的關(guān)系，得到g的表達(dá)式．根據(jù)重力加速度的表達(dá)式，分析各圖線與b之間的關(guān)系．
（3）分別求出當(dāng)O、A間細(xì)線的長(zhǎng)度分別為l₁、l₂時(shí)實(shí)際擺長(zhǎng)，利用單擺周期公式列式，最后求出重力加速度．

解答 解：①單擺的周期：T=$\frac{t}{n}$，由單擺周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$可知，重力加速度：g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$．
②根據(jù)單擺的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$得，T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，T²-L圖象的斜率k=$\frac{4{π}^{2}}{g}$，當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度g=$\frac{4{π}^{2}}{k}$．
A、若測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)忘了加上擺球的半徑，則擺長(zhǎng)變成擺線的長(zhǎng)度l，則有T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，對(duì)T²-L圖象來(lái)說(shuō)，T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$+$\frac{4{π}^{2}r}{g}$與b線T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$斜率相等，兩者應(yīng)該平行，$\frac{4{π}^{2}r}{g}$是截距；故做出的T²-L圖象中a線的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球上端的距離記為擺長(zhǎng)L．故A錯(cuò)誤；
B、實(shí)驗(yàn)中誤將49次全振動(dòng)記為50次，則周期的測(cè)量值偏小，導(dǎo)致重力加速度的測(cè)量值偏大，圖線的斜率k偏�。�故B正確；
C、由圖可知，圖線c對(duì)應(yīng)的斜率k偏小，根據(jù)T²-L圖象的斜率k=$\frac{4{π}^{2}}{g}$，當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度g=$\frac{4{π}^{2}}{k}$可知，g值大于圖線b對(duì)應(yīng)的g值．故C錯(cuò)誤．
故選：B．
③擺線總長(zhǎng)為l，當(dāng)O、A間細(xì)線的長(zhǎng)度為l₁時(shí)實(shí)際擺長(zhǎng)變?yōu)閘-l₁；由單擺周期公式$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$有：
${T}_{1}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{l-{l}_{1}}{g}}$
當(dāng)O、A間細(xì)線的長(zhǎng)度為l₂時(shí)實(shí)際擺長(zhǎng)變?yōu)閘-l₂；由單擺周期公式$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$有：
${T}_{2}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{l-{l}_{2}}{g}}$
解得：g=$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$
故答案為：①$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$；②B；③$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種理想的運(yùn)動(dòng)模型，單擺只有在擺角很小，空氣阻力影響不計(jì)的情況下單擺的振動(dòng)才可以看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，要知道影響實(shí)驗(yàn)結(jié)論的因素．應(yīng)用單擺周期公式可以解題；要掌握應(yīng)用圖象法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法．