Question

20．如圖所示，光滑圓弧軌道與光滑斜面在B點(diǎn)平滑連接，圓弧半徑為R=0.4m，一半徑很小、質(zhì)量為m=0.2kg的小球從光滑斜面上A點(diǎn)由靜止釋放，g取10m/s²．求：
（1）若小球恰好通過圓弧軌道最高點(diǎn)D，小球運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小F_N；
（2）若斜面傾斜角與圖中θ相等，均為53°，若小球從D點(diǎn)射出，均打在斜面上與O點(diǎn)等高的E點(diǎn)的上方，則釋放點(diǎn)A的高度h應(yīng)滿足什么要求？

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通過圓弧軌道最高點(diǎn)D，說明此時(shí)恰好由物體的重力作為向心力，由向心力的公式可以求得在D點(diǎn)的速度大小，從A到D的過程中，物體的機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律求出C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)時(shí)，對物體受力分析，重力和支持力的合力作為向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛頓第三定律可以知道對軌道壓力的大�。�
（2）離開D點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動，根據(jù)水平方向的勻速直線運(yùn)動，豎直方向上的自由落體運(yùn)動可以求得小球運(yùn)動的時(shí)間，根據(jù)水平位移求出D點(diǎn)的速度，再對全過程，運(yùn)用動能定理求解．

解答 解：（1）小球恰好通過最高點(diǎn)D，則有 mg=$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
從C點(diǎn)到D點(diǎn)由動能定理（或機(jī)械能守恒定律）有：
-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
對C點(diǎn)，有：F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得：F_C=mg+m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=6mg=12N
由牛頓第三定律得，C點(diǎn)對軌道的壓力 F_N=F_C=12N
（2）設(shè)恰好撞到斜面上E點(diǎn)離B點(diǎn)的距離為s，飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動規(guī)律可得
水平方向：s=v_Dt
豎直方向：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由幾何關(guān)系易得：s=$\frac{R}{sinθ}$
解得 v_D=$\frac{5}{4}\sqrt{2}$m/s＜$\sqrt{gR}$=2m/s，所以小球不能打到E點(diǎn)，v_Dmin=$\sqrt{gR}$=2m/s
對物體由A到D動能定理有：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{Dmi}^{2}$-0
h=1m，所以A點(diǎn)的釋放高度 h≥1m
答：
（1）若小球恰好通過圓弧軌道最高點(diǎn)D，小球運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小F_N是12N．
（2）A點(diǎn)的釋放高度應(yīng)滿足：h≥1m．

點(diǎn)評 小球的運(yùn)動過程可以分為三部分，第一段是勻加速直線運(yùn)動，第二段的機(jī)械能守恒，第三段是平拋運(yùn)動，分析清楚各部分的運(yùn)動特點(diǎn)，采用相應(yīng)的規(guī)律求解即可．