Question

2．火星表面特征非常接近地球，適合人類居住．近期我國宇航員正與俄羅斯宇航員一起進行“模擬登火星”實驗活動．宇航員為了測定火星球表面的重力加速度，做了如下探究：將直徑為d的光滑環(huán)形軌道豎直固定在火星表面，讓小滑塊在軌道內(nèi)做圓周運動，當(dāng)小滑塊經(jīng)過軌道最低點速度為v₀時，恰能通過軌道最高點．（已知火星球的半徑為R ）
（1）試求火星表面的重力加速度g；
（2）若給火星球發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，試計算衛(wèi)星運行周期應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律和向心力公式可求出火星表面的重力加速度g
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求出火星的近地衛(wèi)星的周期，即最小周期，火星的衛(wèi)星周期$T≥{T}_{min}^{\;}$

解答 解：（1）設(shè)火星表面的重力加速度為g，從最低點到最高點根據(jù)機械能守恒：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}+mgd$
解得：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}-2gd}$①
恰好經(jīng)過最高點，$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{\frac2b8qafz{2}}$，得$v=\sqrt{g•\frackzjmtlx{2}}$②
聯(lián)立①②得$g=\frac{2{v}_{0}^{2}}{5d}$
（2）給火星發(fā)射衛(wèi)星，當(dāng)軌道半徑等于火星半徑時，周期最小，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$
在火星表面物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
聯(lián)立解得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{\frac{2{v}_{0}^{2}}{5d}}}=\frac{2π}{{v}_{0}^{\;}}\sqrt{\frac{5dR}{2}}$
所以周期滿足條件$T≥\frac{2π}{{v}_{0}^{\;}}\sqrt{\frac{5dR}{2}}$
答：（1）試求火星表面的重力加速度g為$\frac{2{v}_{0}^{2}}{5d}$；
（2）若給火星球發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，試計算衛(wèi)星運行周期應(yīng)滿足的條件$T≥\frac{2π}{{v}_{0}^{\;}}\sqrt{\frac{5dR}{2}}$

點評 在任意星體的表面都有物體的萬有引力等于重力這一等式常用，所謂第一宇宙速度即是萬有引力恰提供其繞星球表面運行的向心力時的速度，此時軌道半徑就是星球的半徑．